Найти уравнение результирующего движения, полученного в результате сложения двух колебаний

Предмет: Физика

Раздел: Механические колебания и волны

Дано:

1. Период колебаний: [T = 4 \, \text{с}].
2. Амплитуда колебаний: [A = 5 \, \text{мм}].
3. Разность фаз: [\Delta\varphi = \frac{\pi}{4}].
4. Начальная фаза первого колебания: [\varphi_{1} = 0].

Требуется найти уравнение результирующего движения, полученного в результате сложения двух колебаний.

Решение:

1. Уравнения исходных колебаний

Для двух гармонических колебаний, будем использовать стандартную форму уравнения: [x(t) = A \cos(\omega t + \varphi)],
где:

• [A] — амплитуда,
• [\omega] — циклическая частота,
• [t] — время,
• [\varphi] — начальная фаза.

Первое колебание: [x_1(t) = A \cos(\omega t)], так как начальная фаза [\varphi_1 = 0].

Второе колебание: [x_2(t) = A \cos(\omega t + \frac{\pi}{4})], так как разность фаз [\Delta\varphi = \frac{\pi}{4}].

2. Найдем циклическую частоту

Циклическая частота связана с периодом следующим образом: [\omega = \frac{2\pi}{T}].
Подставляем значение периода [T = 4 \, \text{с}]: [\omega = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \, \text{рад/с}].

3. Сложение колебаний

Результирующее колебание можно найти с помощью формулы сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты, но с разными начальными фазами: [x(t) = x_1(t) + x_2(t)].

Подставляем выражения для [x_1(t)] и [x_2(t)]: [x(t) = A \cos(\omega t) + A \cos(\omega t + \frac{\pi}{4})].

Применяем формулу приведения: [\cos(\alpha) + \cos(\beta) = 2 \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)].

Здесь:

• [\alpha = \omega t],
• [\beta = \omega t + \frac{\pi}{4}].

Подставляем: [x(t) = 2A \cos\left(\frac{\omega t + (\omega t + \frac{\pi}{4})}{2}\right) \cos\left(\frac{\omega t - (\omega t + \frac{\pi}{4})}{2}\right)].

Упростим выражения в скобках:

1. \frac{\omega t + (\omega t + \frac{\pi}{4})}{2} = \omega t + \frac{\pi}{8},
2. \frac{\omega t - (\omega t + \frac{\pi}{4})}{2} = -\frac{\pi}{8}.

Подставляем их обратно: [x(t) = 2A \cos\left(\omega t + \frac{\pi}{8}\right) \cos\left(-\frac{\pi}{8}\right)].

4. Упростим выражение

Косинус четная функция, поэтому [\cos(-\frac{\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{8})]. Таким образом: [x(t) = 2A \cos\left(\omega t + \frac{\pi}{8}\right) \cos\left(\frac{\pi}{8}\right)].

Амплитуду результирующего колебания обозначим как [A_{\text{res}}]. Она равна: [A_{\text{res}} = 2A \cos\left(\frac{\pi}{8}\right)].

5. Численные значения

1. Вычислим [\cos\left(\frac{\pi}{8}\right)]: [\cos\left(\frac{\pi}{8}\right) \approx 0.9239].

2. Амплитуда результирующего колебания: [A_{\text{res}} = 2 \cdot 5 \cdot 0.9239 \approx 9.24 \, \text{мм}].

3. Уравнение результирующего движения: [x(t) = 9.24 \cos\left(\frac{\pi}{2} t + \frac{\pi}{8}\right) \, \text{мм}].

Ответ:

Уравнение движения, получающегося в результате сложения двух колебаний:
[x(t) = 9.24 \cos\left(\frac{\pi}{2} t + \frac{\pi}{8}\right) \, \text{мм}].