Найти расстояние между каплями, которые падают с некоторой высоты на пластину, закрепленную на вертикальной пружине

Предмет: Физика

Раздел: Механические колебания и волны (Резонанс, собственные колебания)

Задание:

Нам необходимо найти расстояние между каплями (между отрывающейся и ближайшей к ней падающей каплей), которые падают с некоторой высоты на пластину, закрепленную на вертикальной пружине, при условии, что амплитуда колебаний оказывается наибольшей. Частота собственных колебаний пластины известна и равна \( \omega_0 = 10 \ \text{рад/с} \).

Решение:

Это задача на резонанс.

1. Понимание процесса: Капли падают на пластину через равные промежутки времени, заставляя её колебаться. В момент, когда частота падения капель совпадает или близка с собственной частотой колебаний пластины, происходит резонанс, и амплитуда колебаний пластины оказывается наибольшей.
2. Формулировка условий резонанса: Резонанс возникает, когда частота воздействия совпадает с собственной частотой системы: \[ f_0 = f_{\text{внешнее воздействие}} \]
   Частота колебаний системы связана с циклической частотой \( \omega_0 \) формулой: \[ f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi} \]
   Подставляя значение циклической частоты \( \omega_0 = 10 \ \text{рад/с} \), найдём частоту собственных колебаний: \[ f_0 = \frac{10}{2\pi} \approx 1.59 \ \text{Гц} \]
   Это означает, что пластина колеблется с частотой 1.59 раза в секунду.
3. Период колебаний: Период собственных колебаний \( T_0 \) пластины равен обратной величине частоты: \[ T_0 = \frac{1}{f_0} = \frac{1}{1.59} \approx 0.63 \ \text{с} \]
   Это время одного полного колебания пластины.
4. Интервал времени между падением капель: Для возникновения резонанса, капли должны падать на пластину с частотой, равной частоте её колебаний, то есть через промежутки времени, равные периоду собственных колебаний. Таким образом, каждая следующая капля падает через интервал времени \( T_0 \approx 0.63 \ \text{с} \).
5. Расстояние между каплями: Чтобы найти расстояние между каплями, необходимо знать их скорость падения. Рассмотрим каплю, свободно падающую под действием силы тяжести с ускорением \( g = 9.8\ \text{м/с}^2 \). Начальная скорость капли равна нулю. Используем формулу расстояния для равноускоренного движения: \[ h = \frac{1}{2} g t^2 \]
   Подставим время \( t = T_0 = 0.63 \ \text{с} \): \[ h = \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot (0.63)^2 \approx \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot 0.3969 \approx 1.94 \ \text{м} \]

Итог:

Расстояние между отрывающейся и ближайшей к ней каплей составляет приблизительно \( 1.94 \ \text{м} \).