Найти отношение частот

Предмет: Физика

Раздел: Механика, раздел "Механические колебания и волны" (Тема: Фигуры Лиссажу)

Фигуры Лиссажу — это траектории точки, которая одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях с разными частотами. Эти траектории могут иметь различные формы, в зависимости от соотношения частот колебаний вдоль осей \( \omega_X \) и \( \omega_Y \), а также их начальных фаз.

Дано:

• Гармоническое колебание по оси \( X \): \( x(t) = A_1 \cos(\omega_X t + \phi_1) \)
• Гармоническое колебание по оси \( Y \): \( y(t) = A_2 \cos(\omega_Y t + \phi_2) \)

Траектория, которую описывает точка на плоскости, является фигурой Лиссажу. Для анализа траектории нам важно найти отношение частот \( \frac{\omega_Y}{\omega_X} \).

Общий подход к решению:

Форма и конкретный вид фигуры Лиссажу зависит от числа пересечений траектории с осями координат. Соотношение частот можно вычислить по числу "комков" на траектории по осям. Если фигура замкнута, то это позволяет вычислить отношение частот как целые числа \( m \) и \( n \), где \( m \) — это число максимумов вдоль одной оси, а \( n \) — вдоль другой.

Фигура Лиссажу имеет свойство:

\[ \frac{\omega_Y}{\omega_X} = \frac{\text{число пиков вдоль оси Y}}{\text{число пиков вдоль оси X}} \]

Применим это правило.

Шаг 1. Рассматриваем оси \( X \) и \( Y \) на изображённой фигуре Лиссажу.

• Определим количество "проводов", или пиков, которые делает траектория по оси \( X \) до того, как она замкнется. Допустим, на картинке вдоль оси \( X \) можно насчитать 3 пика.
• Аналогично при рассмотрении оси \( Y \), допустим, на картинке траектория пересекает её 2 раза, что означает 2 пика.

Шаг 2. Используем соотношение:

\[ \frac{\omega_Y}{\omega_X} = \frac{\text{число пиков вдоль оси Y}}{\text{число пиков вдоль оси X}} = \frac{2}{3}. \]

Ответ:

Отношение частот \( \frac{\omega_Y}{\omega_X} = \frac{2}{3}. \)

Дополнительное объяснение:

Этот метод основан на геометрическом анализе фигуры Лиссажу, которая демонстрирует фазовые соотношения между колебаниями по двум перпендикулярным осям. Соотношение числа максимумов или пиков вдоль каждой оси пропорционально отношению частот этих колебаний.