Найти момент времени, когда кинетическая энергия материальной точки во второй раз достигнет максимального значения

1. Определение предмета и раздела:

Данное задание относится к физике, раздел механика, подраздел механические колебания и волны.

2. Разбор задачи и пояснение:

Нам нужно найти момент времени, когда кинетическая энергия материальной точки во второй раз достигнет максимального значения. Движение системы описывается гармоническим законом:

\[ X = 4 \sin (\pi t - \frac{\pi}{6})\text{ см} \]

Задача решается поэтапно.

Шаг 1: Основные уравнения гармонических колебаний

Гармоническое колебание описывается уравнением смещения:

\[ X(t) = A \sin (\omega t + \varphi_0) \]

Где:

• \( X(t) \) — смещение (координата) частицы в момент времени \( t \),
• \( A \) — амплитуда колебаний,
• \( \omega \) — круговая (угловая) частота,
• \( \varphi_0 \) — начальная фаза.

Из исходного уравнения можно сразу выделить параметры:

• Амплитуда \( A = 4 \, \text{см} \),
• Угловая частота \( \omega = \pi \, \text{рад/с} \),
• Начальная фаза \( \varphi_0 = -\frac{\pi}{6} \, \text{рад} \).

Шаг 2: Кинетическая энергия колеблющейся точки

Кинетическая энергия \( E_k \) в гармонических колебаниях выражается через скорость:

\[ E_k = \frac{m v^2}{2} \]

Где \( v = \frac{dX}{dt} \) — это скорость.

Скорость частицы в любой момент времени вычисляется как производная от уравнения координаты:

\[ v(t) = \frac{dX(t)}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \varphi_0) \]

В квадрате скорость выражается так:

\[ v^2(t) = A^2 \omega^2 \cos^2(\omega t + \varphi_0) \]

Максимальная кинетическая энергия соответствует максимальному значению \( v^2 \), т.е. когда \( \cos^2(\omega t + \varphi_0) = 1 \), что происходит в моменты времени:

\[ \omega t + \varphi_0 = 0, \pi, 2\pi, 3\pi, ... \]

Шаг 3: Поиск времени, когда кинетическая энергия достигает максимума

Решим уравнение для моментов, когда \( v^2(t) \) максимальна. Нужно найти второй момент времени.

Запишем уравнение для фазы максимальной скорости:

\[ \omega t + \varphi_0 = n\pi, \]

где \( n \) — это четное число (так как интересуемся моментом, когда \( \cos^2 = 1 \)).

Для \( n = 0 \):

\[ \pi t_1 - \frac{\pi}{6} = 0 \implies t_1 = \frac{1}{6} \, \text{с}. \]

Для \( n = 2 \) (через один период максимум кинетической энергии возникает снова):

\[ \pi t_2 - \frac{\pi}{6} = 2\pi \implies \pi t_2 = 2\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}. \]

Отсюда:

\[ t_2 = \frac{13}{6} = 2.17 \, \text{с}. \]

Таким образом, второй раз кинетическая энергия достигнет максимума через 2,17 с после начала движения.

Ответ:

Кинетическая энергия частицы во второй раз достигнет максимального значения через 2,17 с после начала движения.