Найти максимальную скорость шарика при прохождении положения равновесия

Предмет: Физика

Раздел: Механические колебания и динамика

Дано:

• Длина нити: l = 2 м
• Угол отклонения: \alpha = 4^\circ
• Колебания считать гармоническими

Решение:

1. Определение скорости по энергии

Используем закон сохранения энергии:
Полная механическая энергия маятника остается постоянной:

 E = T + U = \text{const} 

В крайнем положении (максимальное отклонение) потенциальная энергия максимальна, а кинетическая энергия равна нулю. В положении равновесия вся энергия переходит в кинетическую.

Потенциальная энергия в крайнем положении:

 U_{\text{max}} = mg h 

Высота подъема h определяется как:

 h = l(1 - \cos\alpha) 

Подставляя:

 U_{\text{max}} = mg l(1 - \cos\alpha) 

В положении равновесия вся энергия переходит в кинетическую:

 T = \frac{1}{2} m v_{\text{max}}^2 

Приравниваем энергии:

 mg l(1 - \cos\alpha) = \frac{1}{2} m v_{\text{max}}^2 

Сокращаем массу:

 g l (1 - \cos\alpha) = \frac{1}{2} v_{\text{max}}^2 

Выражаем v_{\text{max}}:

 v_{\text{max}} = \sqrt{2 g l (1 - \cos\alpha)} 

Подставляем числовые значения:
g = 9.81 м/с², l = 2 м, \alpha = 4^\circ

Находим \cos 4^\circ \approx 0.99756:

 1 - \cos 4^\circ = 1 - 0.99756 = 0.00244 

Теперь подставляем:

 v_{\text{max}} = \sqrt{2 \cdot 9.81 \cdot 2 \cdot 0.00244} 

 v_{\text{max}} = \sqrt{0.0957} \approx 0.31 \text{ м/с} 

2. Проверка через гармонические колебания

Максимальная скорость при гармонических колебаниях:

 v_{\text{max}} = \omega A 

Где \omega — циклическая частота:

 \omega = \sqrt{\frac{g}{l}} 

Амплитуда в радианах:

 A = l \alpha \approx 2 \cdot \frac{4 \pi}{180} = 0.14 \text{ м} 

Находим \omega:

 \omega = \sqrt{\frac{9.81}{2}} \approx 2.21 \text{ рад/с} 

Теперь:

 v_{\text{max}} = 2.21 \cdot 0.14 \approx 0.31 \text{ м/с} 

Ответ:

Максимальная скорость шарика при прохождении положения равновесия:
v_{\text{max}} \approx 0.31 м/с.