Найти логарифмический декремент затухания, который характеризует скорость затухания колебаний маятника

Данное задание относится к физике, а именно к разделу, связанному с механическими колебаниями и затуханием колебаний.

Что нужно определить:

Мы должны найти логарифмический декремент затухания, который характеризует скорость затухания колебаний маятника.

Дано:

• Длина маятника \( l = 2 \, \text{м} \),
• Время уменьшения амплитуды в 2 раза \( t = 2 \, \text{мин} = 120 \, \text{с} \),
• Амплитуда колебаний уменьшается в 2 раза за 2 минуты, то есть \( \frac{A_2}{A_1} = \frac{1}{2} \).

Логарифмический декремент затухания (формула):

Логарифмический декремент определяется как:

\[ \delta = \frac{1}{n} \ln \frac{A_1}{A_2} \]

где:

• \( n \) — это количество полных колебаний за время \( t \),
• \( A_1 \) и \( A_2 \) — соответственно амплитуды на начальном и конечном этапах.

Шаг 1: Определение периода колебаний маятника

Для свободного математического маятника период колебаний определяется по формуле:

\[ T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} \]

где:

• \( g \approx 9{,}8 \, \text{м/с}^2 \) (ускорение свободного падения),
• \( l = 2 \, \text{м} \).

Вычислим период:

\[ T = 2 \pi \sqrt{\frac{2}{9{,}8}} \approx 2 \pi \cdot 0{,}451 \approx 2{,}83 \, \text{с} \]

Шаг 2: Определим количество колебаний за 2 минуты

Частота колебаний \( n \) — это число полных колебаний за заданное время, расчёт:

\[ n = \frac{t}{T} = \frac{120}{2{,}83} \approx 42{,}4 \]

Шаг 3: Подставим данные в формулу логарифмического декремента

Из начальных данных:

\[ \frac{A_1}{A_2} = 2 \]

Теперь подставляем числа в основную формулу для логарифмического декремента:

\[ \delta = \frac{1}{42{,}4} \ln 2 \]

\[ \delta \approx \frac{1}{42{,}4} \cdot 0{,}693 \approx 0{,}0163 \]

Ответ:

Логарифмический декремент затухания \( \delta \approx 0{,}0163 \).