Найти логарифмический декремент затухания

Предмет: Физика
Раздел: Механические колебания и волны

В данном выражении:

 \text{отношение последовательных амплитуд} = \frac{\ln U_i}{U_{i+1}} 

переменная  U_{i+1}  обозначает амплитуду следующего колебания в последовательности затухающих колебаний.

Физический смысл

В случае затухающих колебаний амплитуда колебаний уменьшается со временем. Отношение последовательных амплитуд используется для определения логарифмического декремента затухания, который характеризует скорость убывания амплитуды.

Логарифмический декремент затухания определяется как:

 \Lambda = \ln \frac{U_i}{U_{i+1}} 

где:

•  U_i  — амплитуда  i -го колебания,
•  U_{i+1}  — амплитуда следующего колебания.

Пример расчета для пяти колебаний

Допустим, начальная амплитуда  U_1 = 10 \, \text{см} , а амплитуды следующих колебаний уменьшаются следующим образом:

 U_2 = 8.5 \, \text{см}, \quad U_3 = 7.2 \, \text{см}, \quad U_4 = 6.1 \, \text{см}, \quad U_5 = 5.2 \, \text{см} 

Рассчитаем логарифмический декремент затухания для каждого шага:

 \Lambda_1 = \ln \frac{U_1}{U_2} = \ln \frac{10}{8.5} \approx 0.151 

 \Lambda_2 = \ln \frac{U_2}{U_3} = \ln \frac{8.5}{7.2} \approx 0.162 

 \Lambda_3 = \ln \frac{U_3}{U_4} = \ln \frac{7.2}{6.1} \approx 0.165 

 \Lambda_4 = \ln \frac{U_4}{U_5} = \ln \frac{6.1}{5.2} \approx 0.156 

Средний логарифмический декремент:

 \Lambda_{\text{ср}} = \frac{\Lambda_1 + \Lambda_2 + \Lambda_3 + \Lambda_4}{4} \approx \frac{0.151 + 0.162 + 0.165 + 0.156}{4} \approx 0.1585 

Таким образом, логарифмический декремент затухания в данном примере составляет примерно  0.1585 .