Найти, через какое время после начала движения (t = 0) кинетическая энергия частицы во второй раз достигнет максимального значения

Предмет: Физика

Раздел: Механика, колебания и волны

Дано:

Закон движения материальной точки: \[ X(t) = 4 \sin\left(pt - \dfrac{\pi}{6}\right) \text{ см}. \]
Нам нужно найти, через какое время после начала движения (t = 0) кинетическая энергия частицы во второй раз достигнет максимального значения.

Шаг 1: Понимание гармонических колебаний

Колебания точки описываются синусом, а значит, у нас есть классическое гармоническое колебание. Основные параметры из уравнения можно вынести:

• Значение амплитуды \( A = 4 \text{ см} \).
• Фаза колебаний имеет вид \( \varphi(t) = pt - \dfrac{\pi}{6} \), где \( p \) — циклическая частота.

Максимальная кинетическая энергия достигается, когда потенциальная энергия имеет минимальное значение, что соответствует моментам времени, когда отклонение \( X(t) = 0 \) — это моменты, когда частица проходит через положение равновесия. В эти моменты скорость максимальна, а значит, и кинетическая энергия максимальна.

Шаг 2: Уравнение положения равновесия

Положение равновесия — это \( X(t) = 0 \). Для нашего уравнения колебаний:

\[ X(t) = 4 \sin\left(pt - \dfrac{\pi}{6}\right) = 0. \]

Чтобы найти моменты времени, когда X(t) = 0, нужно решить уравнение:

\[ \sin\left(pt - \dfrac{\pi}{6}\right) = 0. \]

Аргумент синуса равен нулю, когда:

\[ pt - \dfrac{\pi}{6} = n\pi \quad \text{(где } n = 0, 1, 2, \dots \text{, так как синус = 0 при целых значениях \( n\pi \))}. \]

Шаг 3: Первый и второй нули функции

Из данного уравнения находим:

\[ pt = n\pi + \dfrac{\pi}{6}. \]

Теперь выразим время \( t \):

\[ t_n = \dfrac{n\pi}{p} + \dfrac{\pi}{6p}. \]

Первый раз \( X(t) = 0 \) при \( n = 0 \):

\[ t_0 = \dfrac{0\pi}{p} + \dfrac{\pi}{6p} = \dfrac{\pi}{6p}. \]

Второй раз \( X(t) = 0 \) при \( n = 1 \):

\[ t_1 = \dfrac{1\pi}{p} + \dfrac{\pi}{6p} = \dfrac{\pi}{p} + \dfrac{\pi}{6p} = \dfrac{7\pi}{6p}. \]

Шаг 4: Ответ

Итак, кинетическая энергия достигает максимального значения во второй раз в момент времени:

\[ t = \dfrac{7\pi}{6p}. \]