Найти чему равна разность фаз исходных колебаний

Предмет: Физика

Раздел: Механические колебания и волны

Дано задание: При сложении двух гармонических колебаний одного направления с одинаковыми периодами и равными амплитудами результирующее колебание имеет такую же амплитуду, что и складываемые колебания. Чему равна разность фаз исходных колебаний?

Подробное решение:

Запишем оба колебания в виде: \[ x_1 = A \sin(\omega t), \] \[ x_2 = A \sin(\omega t + \Delta \varphi), \] где \( A \) — амплитуды колебаний (одинаковые), \( \omega \) — циклическая частота, а \( \Delta \varphi \) — разность фаз между колебаниями.

Результирующее колебание является суммой: \[ x = x_1 + x_2. \]

Запишем результирующее колебание: \[ x = A \sin(\omega t) + A \sin(\omega t + \Delta \varphi). \]

Для суммы синусов используем тригонометрическую формулу: \[ \sin(\alpha) + \sin(\beta) = 2 \sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right). \]

Применим её: \[ x = 2A \cos \left( \frac{\Delta \varphi}{2} \right) \sin \left( \omega t + \frac{\Delta \varphi}{2} \right). \]

Таким образом, результирующая амплитуда \( A_{\text{рез}} \) будет равна: \[ A_{\text{рез}} = 2A \cos \left( \frac{\Delta \varphi}{2} \right). \]

По условию задачи результирующая амплитуда равна амплитуде одного из исходных колебаний, то есть: \[ A_{\text{рез}} = A. \]

Из этого следует: \[ 2A \cos \left( \frac{\Delta \varphi}{2} \right) = A. \]

Упрощаем: \[ 2 \cos \left( \frac{\Delta \varphi}{2} \right) = 1, \] \[ \cos \left( \frac{\Delta \varphi}{2} \right) = \frac{1}{2}. \]

Отсюда: \[ \frac{\Delta \varphi}{2} = \frac{\pi}{3}, \] \[ \Delta \varphi = \frac{2\pi}{3}. \]

Ответ:

Разность фаз \( \Delta \varphi = \frac{2\pi}{3} \).