Найти амплитуду ускорения

Определение предмета и раздела

Это задание относится к физике, раздел механика, тема — гармонические колебания.

Что дано

Уравнение движения точки имеет вид: \[ x = 2 \sin \left( \frac{t}{2} + \frac{\pi}{4} \right), \] где \( x \) — это смещение точки (в сантиметрах), а \( t \) — время (в секундах).

Нужно найти амплитуду ускорения.

Шаг 1: Общее уравнение для гармонических колебаний

Общее уравнение гармонических колебаний имеет вид: \[ x(t) = A \sin(\omega t + \varphi_0), \] где:

• \( A \) — амплитуда смещения (максимальное смещение),
• \( \omega \) — циклическая частота,
• \( \varphi_0 \) — начальная фаза,
• \( t \) — время.

Амплитуда ускорения равна максимальному значению ускорения в процессе колебательного движения.

Шаг 2: Связь ускорения со смещением

Ускорение \( a(t) \) связано с вторым производным смещения \( x(t) \): \[ a(t) = \frac{d^2 x(t)}{dt^2}. \] Из формулы гармонических колебаний известно, что ускорение можно выразить через смещение: \[ a(t) = -\omega^2 x(t). \]

Амплитуда ускорения \( a_{\text{max}} \) пропорциональна квадрату циклической частоты и амплитуде смещения: \[ a_{\text{max}} = \omega^2 A. \]

Шаг 3: Анализ уравнения

Из уравнения \( x(t) = 2 \sin\left( \frac{t}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \) видно, что:

• Амплитуда смещения \( A = 2 \) см,
• Внутри синуса стоит выражение \( \frac{t}{2} \), следовательно, циклическая частота \( \omega \) пропорциональна коэффициенту при \( t \). Значит: \[ \omega = \frac{1}{2}. \]

Шаг 4: Найдём амплитуду ускорения

Теперь можем найти амплитуду ускорения по формуле \( a_{\text{max}} = \omega^2 A \). Подставляем известные значения: \[ a_{\text{max}} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 \cdot 2 = \frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{2}{4} = 0.5 \, \text{см/с}^2. \]

Ответ:

Амплитуда ускорения равна 0.5 см/с².