Напишите уравнение движения получающегося в результате сложения этих колебаний если начальная фаза одного из них равна нулю

Предмет: Физика
Раздел: Механические колебания и волны

Рассмотрим два гармонических колебания одинакового периода T = 2 с, одинаковой амплитуды A = 7 см и разностью фаз \Delta \varphi = \frac{\pi}{4}. Пусть уравнение первого колебания имеет вид:

 x_1 = A \cos(\omega t) 

где начальная фаза равна нулю.

Период колебаний связан с угловой частотой соотношением:

 \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi 

Тогда уравнение первого колебания:

 x_1 = 7 \cos(\pi t) 

Второе колебание сдвинуто по фазе на \frac{\pi}{4}, поэтому его уравнение:

 x_2 = 7 \cos(\pi t + \frac{\pi}{4}) 

Рассчитаем результирующее колебание, используя формулу сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты:

 x = 2A \cos \left(\frac{\varphi_1 + \varphi_2}{2} \right) \cos \left(\frac{\varphi_1 - \varphi_2}{2} \right) 

Здесь \varphi_1 = \pi t и \varphi_2 = \pi t + \frac{\pi}{4}. Подставляя:

 x = 2 \cdot 7 \cos \left(\frac{(\pi t) + (\pi t + \frac{\pi}{4})}{2} \right) \cos \left(\frac{(\pi t) - (\pi t + \frac{\pi}{4})}{2} \right) 

Упростим выражения в скобках:

 x = 14 \cos \left(\pi t + \frac{\pi}{8} \right) \cos \left(-\frac{\pi}{8} \right) 

Так как \cos(-\alpha) = \cos \alpha, то:

 x = 14 \cos \frac{\pi}{8} \cos \left(\pi t + \frac{\pi}{8} \right) 

Численно \cos \frac{\pi}{8} \approx 0.9239, поэтому результирующая амплитуда:

 A' = 14 \cdot 0.9239 \approx 12.93 

Таким образом, уравнение результирующего движения:

 x = 12.93 \cos \left(\pi t + \frac{\pi}{8} \right)