Напишите уравнение движения получающегося в результате сложения этих колебаний если начальная фаза одного из них равна нулю

Предмет: Физика
Раздел: Механические колебания и волны

Рассмотрим два гармонических колебания одинакового периода $T=2$ с, одинаковой амплитуды $A=7$ см и разностью фаз $\mathrm{\Delta }\phi =\frac{\pi }{4}$. Пусть уравнение первого колебания имеет вид:

$x_1=A\cos (\omega t)$

где начальная фаза равна нулю.

Период колебаний связан с угловой частотой соотношением:

$\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{2}=\pi$

Тогда уравнение первого колебания:

$x_1=7\cos (\pi t)$

Второе колебание сдвинуто по фазе на $\frac{\pi }{4}$, поэтому его уравнение:

$x_2=7\cos (\pi t+\frac{\pi }{4})$

Рассчитаем результирующее колебание, используя формулу сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты:

$x=2A\cos \left(\frac{{\phi }_1+{\phi }_2}{2}\right)\cos \left(\frac{{\phi }_1-{\phi }_2}{2}\right)$

Здесь ${\phi }_1=\pi t$ и ${\phi }_2=\pi t+\frac{\pi }{4}$. Подставляя:

$x=2\cdot 7\cos \left(\frac{(\pi t)+(\pi t+\frac{\pi }{4})}{2}\right)\cos \left(\frac{(\pi t)-(\pi t+\frac{\pi }{4})}{2}\right)$

Упростим выражения в скобках:

$x=14\cos (\pi t+\frac{\pi }{8})\cos (-\frac{\pi }{8})$

Так как $\cos (-\alpha )=\cos \alpha$, то:

$x=14\cos \frac{\pi }{8}\cos (\pi t+\frac{\pi }{8})$

Численно $\cos \frac{\pi }{8}\approx 0.9239$, поэтому результирующая амплитуда:

$A^{\prime }=14\cdot 0.9239\approx 12.93$

Таким образом, уравнение результирующего движения:

$x=12.93\cos (\pi t+\frac{\pi }{8})$