Написать уравнение гармонического колебания, скорости и ускорения от времени

Предмет: Физика

Раздел: Механические колебания (гармонические колебания)

Дано:

• Максимальное отклонение от положения равновесия \( A = 3 \, \text{см} = 0,03 \, \text{м} \).
• За 3 минуты совершается 180 колебаний. Время \( t = 3 \, \text{мин} = 180 \, \text{с} \), количество колебаний \( N = 180 \).
• В начальный момент времени \( t_0 \) тело находилось на расстоянии 1,5 см вправо, т.е. начальное смещение \( x_0 = 1,5 \, \text{см} = 0,015 \, \text{м} \).

1. Найдём основные параметры колебаний.

Период колебаний:

Период \( T \) - это время одного колебания. \[ T = \frac{t}{N} = \frac{180 \, \text{с}}{180} = 1 \, \text{с}. \]

Частота колебаний:

Частота \( \nu \) - это число колебаний в секунду. \[ \nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{1 \, \text{с}} = 1 \, \text{Гц}. \]

Циклическая частота \( \omega \):

Циклическая частота выражается через частоту: \[ \omega = 2\pi \nu = 2\pi \times 1 \, \text{рад/с} = 2\pi \, \text{рад/с}. \]

2. Уравнение гармонических колебаний.

Уравнение гармонических колебаний для смещения \( x(t) \) имеет следующий вид: \[ x(t) = A \cos(\omega t + \varphi_0), \] где \( A \) — амплитуда, \( \omega \) — циклическая частота, \( \varphi_0 \) — начальная фаза.

Найдём начальную фазу \( \varphi_0 \) из условия начального смещения.

В момент времени \( t_0 = 0 \) тело находится на расстоянии \( x_0 = 0,015 \, \text{м} \): \[ x_0 = A \cos(\varphi_0). \] Подставляем значения: \[ 0,015 = 0,03 \cos(\varphi_0), \] \[ \cos(\varphi_0) = 0,5. \] Отсюда \( \varphi_0 = \frac{\pi}{3} \).

Уравнение координаты \( x(t) \):

\[ x(t) = 0,03 \cos(2\pi t + \frac{\pi}{3}). \]

3. Уравнение скорости \( v(t) \).

Скорость \( v(t) \) — это производная от смещения \( x(t) \) по времени: \[ v(t) = \frac{dx(t)}{dt} = -A \omega \sin(\omega t + \varphi_0). \] Подставляем: \[ v(t) = -0,03 \times 2\pi \sin\left(2\pi t + \frac{\pi}{3}\right), \] \[ v(t) = -0,06\pi \sin\left(2\pi t + \frac{\pi}{3}\right). \]

4. Уравнение ускорения \( a(t) \).

Ускорение \( a(t) \) — это производная от скорости \( v(t) \) по времени: \[ a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = -A \omega^2 \cos(\omega t + \varphi_0). \] Подставляем: \[ a(t) = -0,03 \times (2\pi)^2 \cos\left(2\pi t + \frac{\pi}{3}\right), \] \[ a(t) = -1,184 \cos\left(2\pi t + \frac{\pi}{3}\right) \, \text{м/с}^2. \]

Ответ:

• Уравнение смещения: \( x(t) = 0,03 \cos\left(2\pi t + \frac{\pi}{3}\right) \, \text{м}. \)
• Уравнение скорости: \( v(t) = -0,06\pi \sin\left(2\pi t + \frac{\pi}{3}\right) \, \text{м/с}. \)
• Уравнение ускорения: \( a(t) = -1,184 \cos\left(2\pi t + \frac{\pi}{3}\right) \, \text{м/с}^2. \)