Рассчитайте теоретическое значение магнитной индукции по формуле

Предмет: Физика

Раздел предмета: Магнетизм. Магнитные поля

Задача связана с расчетом магнитной индукции \( B \), создаваемой соленоидом, который является токонесущей катушкой.

Дано:

• d = 4,1 см (диаметр соленоида);
• N = 100 (количество витков в соленоиде);
• L = 19 см (длина соленоида);
• I = 0,47 А (ток в соленоиде);
• l = -5 см (положение на оси относительно центра катушки).

Применим формулу для магнитной индукции \( B \):

\[ B = \left( \mu_0 \cdot I \cdot N \right) \ / \ {2 \cdot L} \ \left( \frac{L - l}{\sqrt{R^2 + (L - l)^2}} + \frac{l}{\sqrt{R^2 + l^2}} \right) \]

Где:

• \( \mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \) Тл·м/А — магнитная постоянная;
• \( I \) — ток в соленоиде;
• \( N \) — число витков;
• \( L \) — длина соленоида;
• \( l \) — положение точки на оси соленоида относительно его центра;
• \( R \) — радиус соленоида, который равен половине диаметра \( d \).

Шаг 1: Перевод всех величин в метрическую систему:

• \( d = 4,1 \, \text{см} = 0,041 \, \text{м} \), следовательно радиус \( R = d/2 = 0,0205 \, \text{м} \);
• \( L = 19 \, \text{см} = 0,19 \, \text{м} \);
• \( l = -5 \, \text{см} = -0,05 \, \text{м} \);
• \( I = 0,47 \, \text{А} \);
• \( N = 100 \).

Шаг 2: Расчет элемента формулы

1. Вычислим выражение \( \sqrt{R^2 + (L-l)^2} \):

   \[ L - l = 0,19 - (-0,05) = 0,24 \, \text{м} \]

   Теперь: \[ \sqrt{R^2 + (L-l)^2} = \sqrt{(0,0205)^2 + (0,24)^2} = \sqrt{0,00042025 + 0,0576} = \sqrt{0,05802025} \approx 0,241 \, \text{м} \]

2. Вычислим выражение для \( \sqrt{R^2 + l^2} \):

   \[ \sqrt{R^2 + l^2} = \sqrt{(0,0205)^2 + (-0,05)^2} = \sqrt{0,00042025 + 0,0025} = \sqrt{0,00292025} \approx 0,054 \, \text{м} \]

Шаг 3: Сбор всех результатов в одну формулу

Теперь можем подставить результаты в основную формулу:

\[ B = \left( \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \cdot 0,47 \cdot 100}{2 \cdot 0,19} \right) \left( \frac{0,24}{0,241} + \frac{-0,05}{0,054} \right) \]

Подсчитаем коэффициент при скобках:

• \[ \left( \frac{0,24}{0,241} \right) \approx 0,996 \]
• \[ \left( \frac{-0,05}{0,054} \right) \approx -0,926 \]

Сумма внутри скобок:

\[ 0,996 - 0,926 = 0,07 \]

Теперь расчет первой части:

\[ \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \cdot 0,47 \cdot 100}{2 \cdot 0,19} = \frac{(5,91 \times 10^{-5})}{0,38} \approx 1,5553 \times 10^{-4} \]

Шаг 4: Финальный расчет

Теперь умножим всё вместе:

\[ B \approx (1,5553 \times 10^{-4}) \times 0,07 \approx 1,089 \times 10^{-5} \ \text{Тл} \]

Или \( B \approx 10,89 \times 10^{-6} \ \text{Тл} \).

Ответ:

Магнитная индукция \( B \approx 10,89 \ \mu\text{Тл} \).