Определите напряжение на зажимах катушки через t1 = 0,01 с и t2 = 0,1 с после размыкания цепи

Этот вопрос относится к предмету "Физика", разделу "Электрические цепи" и "Электромагнитная индукция". Давайте подробно решим задачу.

1. Условие задачи:

• Индуктивность катушки $\text{(}L=1.5\text{)}$ Гн.
• Сопротивление катушки $\text{(}{R}_1=15\text{)}$ Ом.
• Резистор сопротивлением $\text{(}{R}_2=150\text{)}$ Ом.
• Источник ЭДС $\text{(}\epsilon =60\text{)}$ В.
• Время после размыкания цепи: $\text{(}{t}_1=0.01\text{)}$ с и $\text{(}{t}_2=0.1\text{)}$ с.

2. Определим эквивалентное сопротивление катушки и резистора:

Поскольку катушка с сопротивлением $\text{(}{R}_1\text{)}$ и резистор $\text{(}{R}_2\text{)}$ соединены параллельно, эквивалентное сопротивление $\text{(}{R}_{eq}\text{)}$ системы определяется по формуле:

$\text{[}\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\text{]}$

Подставляя значения:

$\text{[}\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{15}+\frac{1}{150}\text{]}$

$\text{[}\frac{1}{R_{eq}}=\frac{10}{150}+\frac{1}{150}=\frac{11}{150}\text{]}$

$\text{[}{R}_{eq}=\frac{150}{11}\approx 13.64\mathrm{\Omega }\text{]}$

3. Найдём начальный ток $\text{(}{I}_0\text{)}$ в цепи до размыкания ключа К:

Поскольку катушка и резистор соединены параллельно и подключены к источнику напряжения $\text{(}\epsilon \text{)}$:

$\text{[}{I}_0=\frac{\epsilon }{R_{eq}}=\frac{60}{13.64}\approx 4.4А\text{]}$

4. Рассчитаем постоянную времени $\text{(}\tau \text{)}$ для RL-цепи (катушка и её сопротивление):

Постоянная времени $\text{(}\tau \text{)}$ определится как:

$\text{[}\tau =\frac{L}{R_1}=\frac{1.5}{15}=0.1с\text{]}$

5. Определим ток через катушку в моменты времени $\text{(}{t}_1\text{)}$ и $\text{(}{t}_2\text{)}$:

После размыкания цепи ток в катушке будет убывать по экспоненциальному закону:

$\text{[}I(t)=I_0{e}^{-\frac{t}{\tau }}\text{]}$

- Ток через катушку в момент времени $\text{(}{t}_1=0.01\text{)}$ с:

$\text{[}I(t_1)=I_0{e}^{-\frac{t_1}{\tau }}=4.4e^{-\frac{0.01}{0.1}}=4.4\times 0.905=3.98А\text{]}$

- Ток через катушку в момент времени $\text{(}{t}_2=0.1\text{)}$ с:

$\text{[}I(t_2)=I_0{e}^{-\frac{t_2}{\tau }}=4.4e^{-\frac{0.1}{0.1}}=4.4\times 0.368=1.62А\text{]}$

6. Определим напряжение на катушке в моменты времени $\text{(}{t}_1\text{)}$ и $\text{(}{t}_2\text{)}$:

Напряжение на катушке $\text{(}{U}_L\text{)}$ также будет убывать и определяется через уравнение для напряжения в R-L цепи:

$\text{[}{U}_L(t)=L\frac{dI(t)}{dt}+I(t)R_1\text{]}$

Ток экспоненциально убывает, значит, производная от тока:

$\text{[}\frac{dI(t)}{dt}=-\frac{I_0}{\tau }{e}^{-\frac{t}{\tau }}\text{]}$

Для $\text{(}t=t_1=0.01\text{)}$ с:

$\text{[}\frac{dI(t_1)}{dt}=-\frac{4.4}{0.1}{e}^{-\frac{0.01}{0.1}}=-\frac{4.4\times 0.905}{0.1}\approx -39.82\text{А/с}\text{]}$

$\text{[}{U}_L(t_1)=1.5\times (-39.82)+3.98\times 15\approx -59.73+59.7\approx -0.03В\text{]}$

Для $\text{(}t=t_2=0.1\text{)}$ с:

$\text{[}\frac{dI(t_2)}{dt}=-\frac{4.4}{0.1}{e}^{-\frac{0.1}{0.1}}=-\frac{4.4\times 0.368}{0.1}\approx -16.19\text{А/с}\text{]}$

$\text{[}{U}_L(t_2)=1.5\times (-16.19)+1.62\times 15\approx -24.29+24.3\approx 0.01В\text{]}$

Итак, напряжение на зажимах катушки:

• через $\text{(}{t}_1=0.01\text{)}$ с составляет приблизительно -0.03 В;
• через $\text{(}{t}_2=0.1\text{)}$ с составляет приблизительно 0.01 В.