Определить на сколько шагов передвинулась лодка, если масса лодки в два раза больше массы человека или в два раза меньше

Данный вопрос содержит два отдельных задания - одно по механике и одно на вычисление бесконечного ряда из области математического анализа. Разберем их по очереди.

Задание 1: Человек в лодке (Раздел механики)

Условие

Человек, стоявший в лодке, сделал шесть шагов вдоль нее и остановился. Необходимо определить, на сколько шагов передвинулась лодка при двух условиях:

1. Масса лодки в два раза больше массы человека.
2. Масса лодки в два раза меньше массы человека.

Эти задачи относятся к затронутой теме закона сохранения импульса. Импульс замкнутой системы остается постоянным, если на нее не действуют внешние силы.

Решение:

Вначале зададим обозначения:

• \( m_ч \) — масса человека
• \( m_л \) — масса лодки
• \( x \) — шаг человека

Случай 1: Масса лодки в два раза больше массы человека

\[ m_л = 2m_ч \]

По закону сохранения импульса:

\[ m_ч \cdot v_ч + m_л \cdot v_л = 0 \]

Так как сумма начальных импульсов равна нулю и отсутствуют внешние силы. Так как \( m_л = 2m_ч \):

\[ m_ч \cdot \Delta x_ч + 2m_ч \cdot \Delta x_л = 0 \]

\[ \Delta x_ч + 2 \Delta x_л = 0 \]

\[ \Delta x_л = -\frac{\Delta x_ч}{2} \]

Если человек совершает 6 шагов, то:

\[ \Delta x_ч = 6x \]

\[ \Delta x_л = - \frac{6x}{2} \]

\[ \Delta x_л = -3x \]

Таким образом, когда человек делает 6 шагов, лодка сдвигается на 3 шага в противоположную сторону.

Случай 2: Масса лодки в два раза меньше массы человека

\[ m_л = \frac{m_ч}{2} \]

По закону сохранения импульса:

\[ m_ч \cdot v_ч + m_л \cdot v_л = 0 \]

Так как \( m_л = \frac{m_ч}{2} \):

\[ m_ч \cdot \Delta x_ч + \frac{m_ч}{2} \cdot \Delta x_л = 0 \]

\[ \Delta x_ч + \frac{\Delta x_л}{2} = 0 \]

\[ \Delta x_л = -2 \Delta x_ч \]

Если человек совершает 6 шагов, то:

\[ \Delta x_ч = 6x \]

\[ \Delta x_л = -2 \cdot 6x \]

\[ \Delta x_л = -12x \]

Таким образом, если масса лодки в два раза меньше массы человека, лодка сдвигается на 12 шагов в противоположную сторону.

Задание 2: Вычисление бесконечного ряда (Раздел математического анализа)

Необходимо исследовать и, если возможно, вычислить сумму следующего бесконечного ряда:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n \cdot x^n}{(n^2 + 1) \cdot 2^n} \]

Разбор задания:

Для начала упростим общий член ряда:

\[ a_n = \frac{n \cdot x^n}{(n^2 + 1) \cdot 2^n} = \frac{n}{n^2 + 1} \cdot \left( \frac{x}{2} \right)^n \]

Рассматривая конвергенцию ряда, применим признак сравнения:

\[ \frac{n}{n^2 + 1} < \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n} \]

Таким образом:

\[ \left| \frac{n}{n^2 + 1} \cdot \left( \frac{x}{2} \right)^n \right| < \frac{1}{n} \cdot \left( \frac{|x|}{2} \right)^n \]

Проверим на абсолютную сходимость. Если \( \left( \frac{|x|}{2} \right) < 1 \), то ряд расходится по абсурдному тесту (если знаменатель растет с \( n \), числитель остается ограниченым). Таковой ряд без учета дополнительного множества всегда сходится (ряд не имеет терминальную сумму).

Таким образом, ряд сходится. Для получения конкретного значения нужно провести суммирование ряда или дальнейшие манипуляции, что представляет собой углубленный анализ за рамками текущего объяснения.