Определить кинетическую энергию протона, движущегося в однородном магнитном поле по винтовой линии

Предмет: Физика

Раздел: Механика и электродинамика, раздел "Силы в магнитном поле".

Задача: Определить кинетическую энергию протона, движущегося в однородном магнитном поле по винтовой линии.

Обозначения:

• \( \vec{B} \) — индукция магнитного поля,
• \( R \) — радиус окружности, по которой движется протон в поперечном сечении винтовой линии,
• \( h \) — шаг винта,
• \( m \) — масса протона,
• \( q \) — заряд протона (для протона \( q = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{Кулон} \)),
• \( v \) — скорость протона.

Подход к решению:

1. Движение заряда в магнитном поле

   Протон в магнитном поле движется по спирали (винтовой линии). Движение по спирали можно разложить на два движения:

   • Движение по окружности в плоскости, перпендикулярной \( \vec{B} \), с радиусом \( R \).
   • Движение вдоль магнитного поля с постоянной скоростью \( v_{\parallel} \).
2. Кинетическая энергия

   Общая кинетическая энергия протона складывается из двух составляющих:

   \[ E_k = \frac{1}{2} m v_{\perp}^2 + \frac{1}{2} m v_{\parallel}^2, \]

   где \( v_{\perp} \) — скорость в плоскости вращения, а \( v_{\parallel} \) — скорость вдоль магнитного поля.

3. Радиус орбиты и связь со скоростью

   Из соотношения для силы Лоренца:

   \[ q v_{\perp} B = \frac{m v_{\perp}^2}{R}. \]

   Отсюда:

   \[ v_{\perp} = \frac{q B R}{m}. \]

4. Скорость вдоль поля

   Шаг спирали \( h \) определяется как расстояние, которое протон проходит вдоль магнитного поля за один виток. Для движения:

   \[ h = v_{\parallel} T, \]

   где \( T \) — период обращения. Период выражается как:

   \[ T = \frac{2 \pi R}{v_{\perp}}. \]

   Тогда:

   \[ v_{\parallel} = \frac{h v_{\perp}}{2 \pi R}. \]

5. Полная кинетическая энергия

   Подставляем выражения для \( v_{\parallel} \) и \( v_{\perp} \) в формулу кинетической энергии:

   \[ E_k = \frac{1}{2} m \left( v_{\perp}^2 + v_{\parallel}^2 \right). \]

Вычисление \( E_k \):

1. Для \( v_{\perp} \):

   \[ v_{\perp} = \frac{q B R}{m}. \]

2. Для \( v_{\parallel} \):

   \[ v_{\parallel} = \frac{h \cdot q B}{2 \pi m}. \]

3. Общая кинетическая энергия:

   \[ E_k = \frac{1}{2} m \left[ \left( \frac{q B R}{m} \right)^2 + \left( \frac{h \cdot q B}{2 \pi m} \right)^2 \right]. \]

   Упрощаем:

   \[ E_k = \frac{q^2 B^2}{2 m} \left[ R^2 + \frac{h^2}{(2 \pi)^2} \right]. \]

Итоговая формула:

\[ E_k = \frac{q^2 B^2}{2 m} \left( R^2 + \frac{h^2}{4 \pi^2} \right). \]

Ответ:

• \( q = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{Кл} \),
• \( m = 1.67 \times 10^{-27} \, \text{кг} \).

Для определения кинетической энергии протона подставьте известные значения \( q \), \( B \), \( R \), \( h \), \( m \):