Найти заряд, если на каждый заряд q действует результирующая сила

Этот вопрос относится к разделу электричества и магнетизма физики, а именно к теории электрических полей и взаимодействия зарядов.

Задание: В центре квадрата, в каждой вершине которого находится заряд \( q = 2.33 \text{ нКл} \), помещён отрицательный заряд \( q_0 \). Найти этот заряд, если на каждый заряд \( q \) действует результирующая сила \( F = 0 \).

Решение:

1. Понять, что результирующая сила на каждый заряд \( q \) равна нулю означает, что силы от всех зарядов уравновешены.
2. Рассмотрим квадрат с длиной стороны \( a \) и зарядами \( q \) в каждой его вершине. Заряды \( q \) — положительные, а \( q_0 \) — отрицательный заряд в центре.
3. Рассчитаем силу, действующую на один из угловых зарядов \( q \) от других угловых зарядов и центра.
4. Сила взаимодействия между любыми двумя зарядами \( q_1 \) и \( q_2 \) на расстоянии \( r \) рассчитывается по закону Кулона: \[ F = k_e \frac{q_1 q_2}{r^2} \] где \( k_e \) — электростатическая постоянная (\( k_e \approx 8.99 \times 10^9 \text{ Н м}^2/\text{Кл}^2 \)).
5. Силы между угловыми зарядами. Расстояние между соседними зарядами равно длине стороны квадрата \( a \). Расстояние между противоположными зарядами равно \(\sqrt{2}a\).
6. Рассчитаем силы взаимодействия между центральным зарядом \( q_0 \) и зарядами \( q \). Расстояние от центра квадрата до каждой вершины равно \( \frac{a\sqrt{2}}{2} \).

Поскольку на каждый заряд в вершинах действует одинаковая сила по величине, но в разных направлениях, вычислим результирующую силу. Обозначим:

• \( F_{q_0-q} \) — сила взаимодействия между центральным зарядом и одним из угловых,
• расстояние от центра до угловых зарядов равно \( \frac{a\sqrt{2}}{2} \).

Сила: \[ F_{q_0-q} = k_e \frac{q \cdot q_0}{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = k_e \frac{q \cdot q_0}{\frac{a^2}{2}} = 2 k_e \frac{q \cdot q_0}{a^2} \] Так как каждое \( q \) будет испытывать действие от \( q_0 \) с результирующей силой ноль: \[ F_{сум} = F_1 + F_2 + F_3 + F_4 \] Поскольку заряды симметрично распределены и результирующая сила равна нулю, можем упростить задачу до выяснения равенства: \[ 4 F_{q_0-q} = 0 \] Таким образом, необходимое условие: \[ F_{q_0-q} = 0 \] Чтобы условия равновесия выполнялись, \( q_0 \) должен компенсировать действие всех \( q \). Тогда: \[ q_0 = - \frac{q}{2} = -\frac{2.33}{2} = -1.165 \text{ нКл} \] Ответ: Заряд в центре квадрата \( q_0 = -1.165 \text{ нКл} \).