Найти при каком значении магнитной индукции электрон окажется в точке C

Предмет: Физика

Раздел: Магнетизм, движение заряженных частиц в магнитном поле (раздел электродинамики)

Задание 1:

Условие: Электрон влетает в однородное магнитное поле в точке A со скоростью \(\vec{v}\). Направление вектора скорости составляет угол \(\alpha\) с направлением вектора магнитной индукции \(\vec{B}\). При каком значении магнитной индукции электрон окажется в точке C? Расстояние AC = \(l\).

Решение:
Для того чтобы решить задачу, нужно понять, что движение электрона в магнитном поле описывается силой Лоренца. Сила Лоренца заставляет заряженные частицы двигаться по окружностям в перпендикулярном направлении относительно вектора магнитного поля. Максимальная сила \(F_{\text{Л}}\), действующая на заряженную частицу, даётся выражением:

\[ F_{\text{Л}} = qvB \sin\alpha \]

где:
- \(q = -e\) (заряд электрона),
- \(v\) — модуль скорости электрона,
- \(B\) — модуль магнитной индукции,
- \(\alpha\) — угол между направлением \(\vec{v}\) и \(\vec{B}\).

Теперь, при условии, что электрон описывает дугу окружности, радиус которой определяется выражением для радиуса движения заряженной частицы в магнитном поле:

\[ R = \frac{mv}{|q|B} \]

где:
- \(m\) — масса электрона,
- \(v\) — скорость электрона,
- \(B\) — индукция магнитного поля.

Электрон пролетит по дуге от точки A до точки C. Отрезок AC — это хорда окружности, а \(\alpha\) — угол отклонения от первоначальной скорости. Для того чтобы частица достигла точки C, дуга, по которой она движется, будет половиной окружности (то есть угол отклонения будет 90 градусов).

Из геометрии окружности, если дуга концентрирует угол \(\alpha\), мы можем использовать следующую связь между расстоянием AC и радиусом окружности R:

\[ AC = 2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \]

Так как известно, что \(AC = l\), подставим значение \(R\):

\[ l = 2 \cdot \frac{mv}{|q|B}\cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \]

Выражаем из этого уравнения магнитную индукцию \(B\):

\[ B = \frac{2mv \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{l |q|} \]

Это выражение описывает значение магнитной индукции, при которой электрон окажется в точке C.

Задание 2:

Условие: Запишите выражение для расчёта магнитной индукции в работе. От каких величин зависит коэффициент пропорциональности в этом выражении?

Решение:
Выражение для магнитной индукции, которая создаёт работу при движении заряженной частицы, выводится из уравнения для силы Лоренца. Как было сказано ранее:

\[ F_{\text{Л}} = qvB \sin\alpha \]

Также мы учитываем закон движения частицы по окружности. Продифференцировав выражение для энергии, можем связать магнитную индукцию с массой электрона \(m\), его скоростью \(v\), зарядом и углом \(\alpha\).

1. Масса частицы (m) — чем больше масса частицы, тем больше сила, действующая на неё в магнитном поле.
2. Скорость частицы (v) — чем выше скорость, тем больше величина силы Лоренца.
3. Заряд частицы (q) — в случае электрона это заряд \(e\).
4. Геометрические параметры — расстояние (например, \(l\)), угол \(\alpha\).

Магнитная индукция зависит от следующих величин: