Вывод формулы релэя джинса из следствия планка

Предмет: Физика
Раздел: Квантовая механика и термодинамика

Вывод формулы Рэлея-Джинса из следствия Планка требует понимания закона излучения абсолютно черного тела. Формула Планка описывает спектральную плотность энергии излучения абсолютно черного тела, а формула Рэлея-Джинса является классическим приближением для длинных волн (низких частот).

Закон излучения Планка

Формула Планка для спектральной плотности энергии излучения абсолютно черного тела имеет вид:

u(\nu, T) = \frac{8 \pi h \nu^3}{c^3} \cdot \frac{1}{e^{\frac{h \nu}{k_B T}} - 1},

где:

• \nu — частота излучения,
• h — постоянная Планка,
• c — скорость света,
• k_B — постоянная Больцмана,
• T — температура в Кельвинах.

Приближение Рэлея-Джинса

Формула Рэлея-Джинса является приближением закона Планка для длинноволновой области спектра, когда \frac{h \nu}{k_B T} \ll 1. В этом случае экспоненциальный множитель e^{\frac{h \nu}{k_B T}} можно разложить в ряд Тейлора:

e^{\frac{h \nu}{k_B T}} \approx 1 + \frac{h \nu}{k_B T}.

Подставим это приближение в закон Планка. В знаменателе закона Планка:

\frac{1}{e^{\frac{h \nu}{k_B T}} - 1} \approx \frac{1}{\left(1 + \frac{h \nu}{k_B T}\right) - 1} = \frac{1}{\frac{h \nu}{k_B T}} = \frac{k_B T}{h \nu}.

Теперь подставим это в формулу Планка:

u(\nu, T) = \frac{8 \pi h \nu^3}{c^3} \cdot \frac{k_B T}{h \nu}.

Сократим h и \nu:

u(\nu, T) = \frac{8 \pi \nu^2 k_B T}{c^3}.

Формула Рэлея-Джинса

Таким образом, мы получили формулу Рэлея-Джинса:

u(\nu, T) = \frac{8 \pi \nu^2 k_B T}{c^3},

которая описывает спектральную плотность энергии излучения абсолютно черного тела в классическом приближении.

Вывод

Формула Рэлея-Джинса является низкочастотным приближением закона Планка, полученным с помощью разложения экспоненты в ряд Тейлора. Она хорошо описывает поведение излучения при больших длинах волн, но приводит к ультрафиолетовой катастрофе в области высоких частот, что и потребовало введения квантовой теории.