Вычислите допустимые уровни энергии электрона, находящегося в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной 10-8 см, протона, находящегося в потенциальной яме 5 Фм, и шарика массой 1 г, находящегося в потенциальной яме 1 см.

Предмет: Физика

Раздел предмета: Квантовая механика (Частицы в потенциальной яме)

Задание:

Требуется вычислить допустимые уровни энергии для частиц, находящихся в потенциальных ямах с разными ширинами. Мы рассмотрим три случая:

1. Электрон в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной \( 10^{-8} \text{ см} \).
2. Протон в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной \( 5 \text{ фм} \) (фемтометров).
3. Шарик массой \( 1 \text{ г} \) в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной \( 1 \text{ см} \).

Обратимся к квантовым закономерностям:

Для одномерной прямоугольной потенциальной ямы длиной \( L \), допустимые уровни энергии для частицы массы \( m \) выражаются формулой:

\[ E_n = \frac{n^2 h^2}{8 m L^2} \] где:
- \( E_n \) — энергия \( n \)-ого уровня,
- \( n \) — квантовое число (целое, \( n = 1, 2, 3, ... \)),
- \( h \) — постоянная Планка \( h = 6.626 \times 10^{-34} \, \text{Дж·с} \),
- \( m \) — масса частицы,
- \( L \) — ширина потенциальной ямы.

Теперь решим задачу для каждого случая.

1. Расчет энергии для электрона (ширина потенциальной ямы \( L = 10^{-8} \text{ см} \)):

• Ширина ямы \( L = 10^{-8} \, \text{см} = 1 \times 10^{-10} \, \text{м} \).
• Масса электрона \( m_e = 9.109 \times 10^{-31} \, \text{кг} \).

Теперь используем формулу для энергии:

\[ E_n = \frac{n^2 h^2}{8 m_e L^2} \]

Подставляем известные значения:

\[ E_n = \frac{n^2 (6.626 \times 10^{-34})^2}{8 \times (9.109 \times 10^{-31}) \times (1 \times 10^{-10})^2} \]

Выполним вычисления для \( n = 1 \) (основное состояние):

\[ E_1 = \frac{(6.626 \times 10^{-34})^2}{8 \times 9.109 \times 10^{-31} \times (1 \times 10^{-10})^2} \approx 6.02 \times 10^{-19} \, \text{Дж} \]

Чтобы выразить энергию в эВ (электрон-вольтах), воспользуемся соотношением:

\[ 1 \, \text{Дж} = 6.242 \times 10^{18} \, \text{эВ} \]

\[ E_1 \approx 6.02 \times 10^{-19} \, \text{Дж} \times 6.242 \times 10^{18} \, \text{эВ/Дж} \approx 3.75 \, \text{эВ} \]

Таким образом, для электрона в основном состоянии (n=1):

\[ E_1 \approx 3.75 \, \text{эВ} \]

2. Расчет энергии для протона (ширина потенциальной ямы \( L = 5 \text{ фм} \)):

• Ширина ямы \( L = 5 \, \text{фм} = 5 \times 10^{-15} \, \text{м} \).
• Масса протона \( m_p = 1.673 \times 10^{-27} \, \text{кг} \).

Используем ту же формулу для энергии:

\[ E_n = \frac{n^2 h^2}{8 m_p L^2} \]

Подставляем значения для \( n = 1 \):

\[ E_1 = \frac{(6.626 \times 10^{-34})^2}{8 \times 1.673 \times 10^{-27} \times (5 \times 10^{-15})^2} \]

Выполним вычисления:

\[ E_1 \approx 8.38 \times 10^{-14} \, \text{Дж} \]

Переведем энергию в эВ:

\[ E_1 \approx 8.38 \times 10^{-14} \, \text{Дж} \times 6.242 \times 10^{18} \, \text{эВ/Дж} \approx 5.23 \times 10^5 \, \text{эВ} = 523 \, \text{кэВ} \]

Таким образом, для протона в основном состоянии:

\[ E_1 \approx 523 \, \text{кэВ} \]

3. Расчет энергии для шарика массой 1 г (ширина потенциальной ямы \( L = 1 \text{ см} \)):

• Масса шарика \( m = 1 \, \text{г} = 1 \times 10^{-3} \, \text{кг} \).
• Ширина ямы \( L = 1 \, \text{см} = 1 \times 10^{-2} \, \text{м} \).

Используем ту же формулу:

\[ E_n = \frac{n^2 h^2}{8 m L^2} \]

Для \( n = 1 \):

\[ E_1 = \frac{(6.626 \times 10^{-34})^2}{8 \times (1 \times 10^{-3}) \times (1 \times 10^{-2})^2} \]

Вычислим энергию:

\[ E_1 \approx 5.5 \times 10^{-66} \, \text{Дж} \]

Очевидно, что эта энергия крайне мала, близка к нулю и не будет иметь практического значения для шарика в макроскопических условиях.

Итог:

• Электрон (ширина ямы \( 10^{-8} \text{ см} \)): \( E_1 \approx 3.75 \, \text{эВ} \).
• Протон (ширина ямы \( 5 \text{ фм} \)): \( E_1 \approx 523 \, \text{кэВ} \).
• Шарик массой \( 1 \, \text{г} \) (ширина ямы \( 1 \text{ см} \)): \( E_1 \approx 5.5 \times 10^{-66} \, \text{Дж} \), что практически равно нулю и неприменимо в макроскопической ситуации.

Таким образом, квантовые эффекты для макротел больше не имеют значительного физического проявления.