Сравнить частоту обращения электрона на n-й боровской орбите с частотой квантового перехода

Этот вопрос относится к разделу квантовой механики, изучающей строение и свойства атомов, в частности — к модели атома водорода по Бору и изучению спектральных линий.

Задание:

Нам нужно сравнить частоту обращения электрона на n-й боровской орбите \( \omega_n \) с частотой квантового перехода \( \omega_{n+1, n} \), когда атом излучает в результате перехода электрона с орбиты n+1 на орбиту n.

Шаг 1: Частота обращения электрона \( \omega_n \)

Частота обращения электрона на n-й орбите в боровской модели атома водорода определяется так:

\[ \omega_n = \frac{2 \pi v_n}{r_n} \]

где \( v_n \) — скорость электрона на орбите, а \( r_n \) — радиус орбиты. Используя законы движения по круговой траектории для сил Кулона и известные выражения Борова для скорости и радиуса:

\[ v_n = \frac{e^2}{\hbar} \cdot \frac{1}{n}, \quad r_n = n^2 a_0 \]

где \( a_0 \) — боровский радиус, \( e \) — заряд электрона и \( \hbar \) — приведённая постоянная Планка. Подставляя эти выражения в формулу частоты:

\[ \omega_n = \frac{e^2}{\hbar n^3} \]

Шаг 2: Частота излучаемого кванта \( \omega_{n+1, n} \)

Частота излучаемого кванта при переходе с орбиты \( n+1 \) на орбиту \( n \) определяется разностью энергий на этих уровнях. Энергия электрона на уровне n в атоме водорода:

\[ E_n = -\frac{e^4 m_e}{2 \hbar^2 n^2} \]

где \( m_e \) — масса электрона. Тогда частота квантового перехода \( \omega_{n+1,n} \) будет равна по правилу Бора:

\[ \hbar \omega_{n+1,n} = E_{n+1} - E_n \]

Подставляя выражения для энергии:

\[ E_{n+1} = -\frac{e^4 m_e}{2 \hbar^2 (n+1)^2}, \quad E_n = -\frac{e^4 m_e}{2 \hbar^2 n^2} \]

Разница энергий:

\[ \hbar \omega_{n+1,n} \approx \frac{e^4 m_e}{\hbar^2} \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right) \]

При больших \( n \) можно использовать приближение для разности квадратов:

\[ \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \approx \frac{2}{n^3} \]

Таким образом, частота:

\[ \omega_{n+1,n} \approx \frac{2 e^4 m_e}{\hbar^3 n^3} \]

Шаг 3: Сравнение частот

Теперь сравним частоты в двух случаях.

а) \( n \gg 1 \)

Для больших n мы видим, что:

\[ \omega_n \approx \frac{e^2}{\hbar n^3}, \quad \omega_{n+1,n} \approx \frac{2 e^4 m_e}{\hbar^3 n^3} \]

Соотношение частот:

\[ \frac{\omega_{n+1,n}}{\omega_n} \approx \frac{2 e^2 m_e}{\hbar^2} \]

Так как \( \frac{e^2 m_e}{\hbar^2} \) — величина порядка единицы (она пропорциональна обратному времени атомных переходов), то частоты близки: \( \omega_{n+1,n} \sim \omega_n \).

б) \( n \sim 1 \)

Ответ:

• При \( n \gg 1 \) частоты квантового перехода и обращения электрона близки друг к другу: \( \omega_{n+1,n} \sim \omega_n \).
• При \( n \sim 1 \) частота квантового перехода значительно больше частоты обращения электрона: \( \omega_{n+1,n} \gg \omega_n \).

При \( n \approx 1 \) приближение \( n \gg 1 \) уже неприменимо, и мы не можем напрямую использовать это соотношение. Однако качественно можно сказать, что \( \omega_{n+1, n} \) будет гораздо больше, чем частота \( \omega_n \), поскольку энергетические уровни на малых \( n \) резко отличаются по значению, а орбитальные периоды уменьшаются медленнее.