Проверить, что волновая функция свободной частицы нормирована на единицу в объёме V и удовлетворяет уравнению Шредингера при U=0

Предмет: Квантовая механика
Раздел: Волновая механика, уравнение Шредингера

Волновая функция свободной частицы

Волновая функция свободной частицы с импульсом [ \mathbf{p} ] в объеме [ V ] записывается в виде:

 \psi_{\mathbf{p}} (\mathbf{r}, t) = \frac{1}{\sqrt{V}} e^{i (\mathbf{p} \cdot \mathbf{r} - \frac{E}{\hbar}t)} 

где:

• [ \mathbf{p} ] — импульс частицы,
• [ E ] — энергия частицы,
• [ \hbar ] — приведенная постоянная Планка,
• [ V ] — объем нормировки.

Проверка нормировки

Нормировка волновой функции означает, что вероятность нахождения частицы во всем пространстве равна 1:

 \int_V |\psi_{\mathbf{p}} (\mathbf{r}, t)|^2 dV = 1. 

Подставим модуль волновой функции:

 |\psi_{\mathbf{p}} (\mathbf{r}, t)|^2 = \left( \frac{1}{\sqrt{V}} e^{i (\mathbf{p} \cdot \mathbf{r} - \frac{E}{\hbar}t)} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{V}} e^{-i (\mathbf{p} \cdot \mathbf{r} - \frac{E}{\hbar}t)} \right) = \frac{1}{V}. 

Интегрируем по объему [ V ]:

 \int_V \frac{1}{V} dV = \frac{V}{V} = 1. 

Следовательно, волновая функция нормирована.

Проверка уравнения Шредингера

Стационарное уравнение Шредингера для свободной частицы ([ U = 0 ]) имеет вид:

 \hat{H} \psi_{\mathbf{p}} = E \psi_{\mathbf{p}}, 

где гамильтониан свободной частицы:

 \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2. 

Вычислим лапласиан волновой функции:

 \nabla^2 \psi_{\mathbf{p}} = \nabla^2 \left( \frac{1}{\sqrt{V}} e^{i (\mathbf{p} \cdot \mathbf{r} - \frac{E}{\hbar}t)} \right). 

Так как оператор лапласиана действует на экспоненту следующим образом:

 \nabla^2 e^{i \mathbf{p} \cdot \mathbf{r}} = -\frac{p^2}{\hbar^2} e^{i \mathbf{p} \cdot \mathbf{r}}, 

то получаем:

 \nabla^2 \psi_{\mathbf{p}} = -\frac{p^2}{\hbar^2} \psi_{\mathbf{p}}. 

Подставляя это в гамильтониан:

 \hat{H} \psi_{\mathbf{p}} = -\frac{\hbar^2}{2m} \left( -\frac{p^2}{\hbar^2} \psi_{\mathbf{p}} \right) = \frac{p^2}{2m} \psi_{\mathbf{p}}. 

Так как энергия свободной частицы [ E = \frac{p^2}{2m} ], получаем:

 \hat{H} \psi_{\mathbf{p}} = E \psi_{\mathbf{p}}. 

Следовательно, волновая функция удовлетворяет уравнению Шредингера.

Вывод

Мы проверили, что:

1. Волновая функция нормирована на единицу.
2. Волновая функция удовлетворяет уравнению Шредингера при [ U = 0 ].

Таким образом, функция [ \psi_{\mathbf{p}} (\mathbf{r}, t) ] действительно является допустимой волновой функцией свободной частицы.