При каких значениях Т ошибка в определении λ по нерелятивистской формуле не превышает 1% для электрона?

Предмет: Физика
Раздел: Квантовая механика, релятивистская механика

Вывод выражения для дебройлевской длины волны релятивистской частицы

Дебройлевская длина волны частицы определяется через ее импульс:

 \lambda = \frac{h}{p} 

где:

•  h  — постоянная Планка,
•  p  — импульс частицы.

В релятивистском случае полная энергия частицы выражается через ее массу  m \ и импульс  p :

 E^2 = p^2c^2 + m^2c^4 

Кинетическая энергия частицы определяется как:

 T = E - mc^2 

Выразим импульс  p  через  T :

 E = T + mc^2 

Подставляя это в выражение для полной энергии:

 (T + mc^2)^2 = p^2c^2 + m^2c^4 

Раскрываем скобки:

 T^2 + 2Tmc^2 + m^2c^4 = p^2c^2 + m^2c^4 

Сокращаем  m^2c^4 :

 T^2 + 2Tmc^2 = p^2c^2 

Выражаем импульс  p :

 p = \frac{\sqrt{T^2 + 2Tmc^2}}{c} 

Подставляем в формулу для длины волны:

 \lambda = \frac{h}{\sqrt{T^2 + 2Tmc^2} / c} 

или

 \lambda = \frac{hc}{\sqrt{T^2 + 2Tmc^2}} 

Определение диапазона кинетической энергии, при котором ошибка не превышает 1%

В нерелятивистском пределе импульс можно приближенно выразить как:

 p_{\text{nr}} = \sqrt{2mT} 

Соответственно, нерелятивистская длина волны:

 \lambda_{\text{nr}} = \frac{h}{\sqrt{2mT}} 

Ошибка в определении длины волны определяется как:

 \delta = \frac{\lambda_{\text{nr}} - \lambda}{\lambda} \times 100\% 

Требуем, чтобы  \delta \leq 1\% . Подставляя выражения для  \lambda  и  \lambda_{\text{nr}} , необходимо решить неравенство:

 \left| \frac{\frac{h}{\sqrt{2mT}} - \frac{hc}{\sqrt{T^2 + 2Tmc^2}}}{\frac{hc}{\sqrt{T^2 + 2Tmc^2}}} \right| \times 100\% \leq 1\% 

Приближенно можно получить, что нерелятивистская формула дает ошибку менее 1% при:

 T \ll mc^2/10 

Для электрона ( m_e c^2 \approx 0.511  МэВ):

 T \ll 0.0511  МэВ = 51.1 кэВ.

Таким образом, нерелятивистская формула применима с точностью не хуже 1% для электрона, если его кинетическая энергия  T \leq 51.1  кэВ.