Показать, что для водородоподобного иона с зарядом ядра момент импульса кратен постоянной Планка, а энергия уровней имеет заданный вид

Предмет: Физика Раздел: Квантовая механика, Атомная физика (Модель атома Бора)

Задача: Показать, что для водородоподобного иона с зарядом ядра \( Z \) момент импульса \( L \) кратен постоянной Планка, а энергия уровней \( E_n \) имеет заданный вид.

Решение:

Планетарная модель атома Бора для водородоподобного иона:

Модель атома Бора для водорода предполагает, что электрон движется по круговой орбите вокруг ядра с центральной силой, которая является кулоновской силой притяжения между электронным облаком и ядром. Бору удалось соединить квантование момента импульса с уравнением движения и получить выражения для энергии и радиуса орбит. В случае водородоподобного атома с зарядом ядра \( Z \), повторим аналогичные рассуждения.

1. Момент импульса (квантование момента импульса):

Момент импульса электрона на орбите вокруг ядра в модели Бора равен: \[ L = m v r, \] где \( m \) — масса электрона, \( v \) — его скорость, \( r \) — радиус орбиты. Согласно постулату Бора, момент импульса электрона квантован, и он должен быть кратен целому числу квантов \( \hbar \) (приведённая постоянная Планка): \[ L = n \hbar, \] где \( n \) — главный квантовый номер (число, определяющее орбиту, на которой находится электрон). Следовательно, для водородоподобного атома: \[ L = m v r = n \hbar. \] Это и есть требуемое соотношение для момента импульса.

2. Как определить энергию уровней \( E_n \)?

Чтобы найти энергию уровней, используем следующие уравнения:

1. Центростремительная сила: Электрон удерживается на орбите кулоновскими силами: \[ \frac{Z e^2}{r^2} = \frac{m v^2}{r}, \] где \( Z \) — заряд ядра (для водородоподобного атома), \( e \) — заряд электрона, \( r \) — радиус орбиты.

2. Момент импульса: Из условия квантования момента импульса \( L = m v r = n \hbar \), выразим скорость электрона: \[ v = \frac{n \hbar}{m r}. \] Подставляем это в уравнение для кулоновской силы: \[ \frac{Z e^2}{r^2} = \frac{m}{r} \left(\frac{n \hbar}{m r}\right)^2. \] Решим это уравнение относительно радиуса \( r \): \[ r = \frac{n^2 \hbar^2}{Z e^2 m}. \]

• Кинетическая энергия \( E_{\text{к}} \) определяется как: \[ E_{\text{к}} = \frac{m v^2}{2}. \] Подставим выражение для \( v \): \[ E_{\text{к}} = \frac{Z e^2}{2 r}. \]
• Потенциальная энергия \( E_{\text{п}} \) — это энергия взаимодействия электрона с ядром по закону Кулона: \[ E_{\text{п}} = -\frac{Z e^2}{r}. \]
• Полная энергия \( E \) будет: \[ E = E_{\text{к}} + E_{\text{п}} = \frac{Z e^2}{2 r} - \frac{Z e^2}{r} = -\frac{Z e^2}{2 r}. \] Теперь подставим выражение для радиуса \( r \): \[ E = -\frac{Z e^2}{2} \cdot \frac{Z e^2 m}{n^2 \hbar^2}. \] Упрощаем это выражение: \[ E = -\frac{Z^2 e^4 m}{2 n^2 \hbar^2}. \] Это выражение для энергии можно записать через постоянную Ридберга \( R_y \), которая связана с фундаментальными постоянными и имеет вид: \[ E_n = -\frac{Z^2 R_y}{n^2}, \] где \( R_y = \frac{e^4 m}{2\hbar^2} \) — постоянная Ридберга.

Ответ: Показано, что момент импульса водородоподобного атома \( L = n \hbar \), а энергия уровней выражается через формулу: \[ E_n = -\frac{Z^2 R_y}{n^2}. \]

3. Полная энергия: Полная энергия электрона в атоме — это сумма кинетической и потенциальной энергии.