Определить коэффициент А и область, где локализована частица

Предмет: Квантовая механика

Раздел: Волновая механика (волновая функция, плотность вероятности, плотность тока)

Дано:
Волновая функция свободной частицы в момент времени [t = 0] имеет вид:
\psi(x, 0) = A \exp\left(-\frac{x^2}{a^2} + i k_0 x\right),
где [A] — нормировочный коэффициент, [a] — параметр, определяющий ширину распределения, [k_0] — волновое число.

Нужно:

1. Найти нормировочный коэффициент [A].
2. Определить область, где локализована частица.
3. Найти плотность тока.

1. Нормировка волновой функции

Для нормировки волновой функции используется условие нормировки:
\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x, 0)|^2 dx = 1,
где |\psi(x, 0)|^2 — квадрат модуля волновой функции.

Подставим выражение для \psi(x, 0):
|\psi(x, 0)|^2 = |A|^2 \exp\left(-\frac{2x^2}{a^2}\right).

Теперь вычислим интеграл:
\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x, 0)|^2 dx = |A|^2 \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-\frac{2x^2}{a^2}\right) dx.

Известно, что интеграл Гауссовой функции имеет вид:
\int_{-\infty}^\infty e^{-b x^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{b}}, \, b > 0.

В данном случае b = \frac{2}{a^2}, поэтому:
\int_{-\infty}^\infty \exp\left(-\frac{2x^2}{a^2}\right) dx = \sqrt{\frac{\pi a^2}{2}}.

Подставим это в условие нормировки:
|A|^2 \sqrt{\frac{\pi a^2}{2}} = 1.

Отсюда:
|A|^2 = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi} a},
A = \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi} a}}.

2. Область локализации частицы

Частица локализована в области, где основная часть вероятности (например, 99%) сосредоточена. Для волновой функции с гауссовым распределением это определяется шириной распределения, которая пропорциональна [a].

Гауссово распределение быстро убывает за пределами интервала |x| \lesssim a, поэтому можно утверждать, что частица локализована в области |x| \lesssim a.

3. Плотность тока

Плотность тока определяется выражением:
j(x, t) = \frac{\hbar}{2mi} \left(\psi^* \frac{\partial \psi}{\partial x} - \psi \frac{\partial \psi^*}{\partial x}\right),
где [\psi^*] — комплексно-сопряжённая волновая функция, [m] — масса частицы.

Подставим \psi(x, 0) = A \exp\left(-\frac{x^2}{a^2} + i k_0 x\right).

Найдём производную \frac{\partial \psi}{\partial x}:
\frac{\partial \psi}{\partial x} = A \left(-\frac{2x}{a^2} + i k_0\right) \exp\left(-\frac{x^2}{a^2} + i k_0 x\right).

Комплексно-сопряжённая функция:
\psi^*(x, 0) = A^* \exp\left(-\frac{x^2}{a^2} - i k_0 x\right).

Её производная:
\frac{\partial \psi^*}{\partial x} = A^* \left(-\frac{2x}{a^2} - i k_0\right) \exp\left(-\frac{x^2}{a^2} - i k_0 x\right).

Подставим в выражение для плотности тока:
j(x, 0) = \frac{\hbar}{2mi} \left[\psi^* \left(-\frac{2x}{a^2} + i k_0\right) \psi - \psi \left(-\frac{2x}{a^2} - i k_0\right) \psi^*\right].

Заметим, что члены с \frac{2x}{a^2} сокращаются, так как они вещественные, а остаются только члены с [k_0]:
j(x, 0) = \frac{\hbar}{2mi} \cdot 2 i k_0 |\psi(x, 0)|^2.

Сокращаем [i]:
j(x, 0) = \frac{\hbar k_0}{m} |\psi(x, 0)|^2.

Подставим |\psi(x, 0)|^2 = |A|^2 \exp\left(-\frac{2x^2}{a^2}\right):
j(x, 0) = \frac{\hbar k_0}{m} |A|^2 \exp\left(-\frac{2x^2}{a^2}\right).

Так как |A|^2 = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi} a}, окончательный ответ:
j(x, 0) = \frac{\hbar k_0}{m} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi} a} \exp\left(-\frac{2x^2}{a^2}\right).

Ответы:

1. Нормировочный коэффициент: A = \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi} a}}.
2. Область локализации: |x| \lesssim a.
3. Плотность тока: j(x, 0) = \frac{\hbar k_0}{m} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi} a} \exp\left(-\frac{2x^2}{a^2}\right).