Оценка неопределенности скорости электрона на первой боровской орбите с использованием принципа неопределенности Гейзенберга

Предмет: Физика
Раздел: Квантовая механика (Принцип неопределенности Гейзенберга)

Задача требует оценки неопределенности скорости электрона на первой боровской орбите с использованием принципа неопределенности Гейзенберга. Давайте решим задачу.

Дано:

1. Радиус первой боровской орбиты:
   [r = 0.05 \, \text{нм} = 0.05 \cdot 10^{-9} \, \text{м} = 5 \cdot 10^{-12} \, \text{м}].
2. Планковская постоянная:
   [h = 6.63 \cdot 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с}].
   Постоянная Дирака:
   [\hbar = \frac{h}{2\pi} = 1.055 \cdot 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с}].
3. Масса электрона:
   [m_e = 9.11 \cdot 10^{-31} \, \text{кг}].

Применение принципа неопределенности Гейзенберга:

Принцип неопределенности Гейзенберга для координаты и импульса выражается как:
[\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}].

Здесь:

• [\Delta x] — неопределенность положения электрона, которую мы можем оценить как равную радиусу орбиты:
  [\Delta x \approx r = 5 \cdot 10^{-12} \, \text{м}].
• [\Delta p] — неопределенность импульса электрона.

Импульс электрона связан со скоростью как:
[p = m_e \cdot v].
Следовательно, неопределенность импульса:
[\Delta p = m_e \cdot \Delta v].

Подставляя это в принцип неопределенности:
[\Delta x \cdot m_e \cdot \Delta v \geq \frac{\hbar}{2}].

Выразим неопределенность скорости:
[\Delta v \geq \frac{\hbar}{2 \cdot \Delta x \cdot m_e}].

Подстановка значений:

Подставим известные величины:
\[ \Delta v \geq \frac{1.055 \cdot 10^{-34}}{2 \cdot (5 \cdot 10^{-12}) \cdot (9.11 \cdot 10^{-31})}. \]

Выполним расчеты:

1. Вычислим знаменатель:
   [2 \cdot (5 \cdot 10^{-12}) \cdot (9.11 \cdot 10^{-31}) = 9.11 \cdot 10^{-41} \, \text{кг} \cdot \text{м}].
2. Найдем [\Delta v]:
   \[ \Delta v \geq \frac{1.055 \cdot 10^{-34}}{9.11 \cdot 10^{-41}} = 1.16 \cdot 10^{6} \, \text{м/с}. \]

Ответ:

Неопределенность скорости электрона на первой боровской орбите составляет:
[\Delta v \geq 1.16 \cdot 10^{6} \, \text{м/с}].

Это означает, что скорость электрона на орбите может изменяться в пределах порядка миллиона метров в секунду, что соответствует квантово-механической природе электрона.