Оценить относительную неточность скорости электрона, используя принцип неопределенности Гейзенберга

Предмет: Физика
Раздел: Квантовая механика (Принцип неопределенности Гейзенберга)

Условие задачи:

Необходимо оценить относительную неточность скорости электрона, используя принцип неопределенности Гейзенберга. Даны:

• Кинетическая энергия электрона [T = 15 \, \text{эВ}],
• Диаметр металлической пылинки [d = 1 \, \mu\text{м} = 10^{-6} \, \text{м}].

Решение:

1. Принцип неопределенности Гейзенберга

Принцип неопределенности Гейзенберга для координаты [x] и импульса [p] выражается следующим образом:  \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2},  где:

• \Delta x — неопределенность в положении частицы,
• \Delta p — неопределенность в импульсе частицы,
• \hbar \approx 1.055 \cdot 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с} — приведённая постоянная Планка.

В задаче сказано, что электрон находится в металлической пылинке диаметром [d]. Это означает, что неопределенность в положении электрона \Delta x можно оценить как:  \Delta x \approx d = 10^{-6} \, \text{м}. 

2. Выразим неопределенность импульса \Delta p

Из принципа неопределенности:  \Delta p \geq \frac{\hbar}{2 \Delta x}.  Подставим значения:  \Delta p \geq \frac{1.055 \cdot 10^{-34}}{2 \cdot 10^{-6}} = 5.275 \cdot 10^{-29} \, \text{кг} \cdot \text{м/с}. 

3. Связь импульса и скорости

Импульс частицы выражается через её массу и скорость:  p = m v,  где:

• m — масса электрона, [m_e \approx 9.11 \cdot 10^{-31} \, \text{кг}],
• v — скорость электрона.

Неопределенность в импульсе \Delta p связана с неопределенностью в скорости \Delta v:  \Delta p = m_e \Delta v.  Отсюда:  \Delta v = \frac{\Delta p}{m_e}.  Подставим значения:  \Delta v = \frac{5.275 \cdot 10^{-29}}{9.11 \cdot 10^{-31}} \approx 57.9 \, \text{м/с}. 

4. Определим скорость электрона v

Кинетическая энергия электрона связана с его скоростью следующим образом:  T = \frac{m_e v^2}{2}.  Отсюда скорость:  v = \sqrt{\frac{2T}{m_e}}.  Переведём энергию из электронвольт в джоули:  T = 15 \, \text{эВ} \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \, \text{Дж/эВ} = 2.4 \cdot 10^{-18} \, \text{Дж}.  Теперь подставим значения:  v = \sqrt{\frac{2 \cdot 2.4 \cdot 10^{-18}}{9.11 \cdot 10^{-31}}} \approx \sqrt{5.27 \cdot 10^{12}} \approx 2.3 \cdot 10^6 \, \text{м/с}. 

5. Относительная неточность скорости

Относительная неточность скорости определяется как:  \frac{\Delta v}{v} = \frac{57.9}{2.3 \cdot 10^6} \approx 2.52 \cdot 10^{-5}. 

Ответ:

Относительная неточность скорости электрона составляет:  \frac{\Delta v}{v} \approx 2.52 \cdot 10^{-5}.