Найти значения полного момента j и возможные значения проекции момента jz. Каким будет результат измерения орбитального момента частицы в этом состоянии

Предмет: Квантовая механика Раздел: Квантовая механика многочастичных систем, угловой момент.

Задача А:

Нейтрон находится в \( p \)-состоянии. Найти значения полного момента \( j \) и возможные значения проекции момента \( j_z \). Каков будет результат измерения орбитального момента частицы в этом состоянии?

Решение:

1. Определим орбитальный момент:
   • Нейтрон находится в \( p \)-состоянии, а значит, орбитальное квантовое число \( l = 1 \). То есть, орбитальный момент частицы: \[ L = \hbar \sqrt{l(l + 1)} = \hbar \sqrt{1(1 + 1)} = \hbar \sqrt{2} \]
2. Определим полный момент:
   • Полный момент \( j \) — это сумма орбитального момента \( L \) и спина частицы. У нейтрона спин \( s = \frac{1}{2} \). Полный момент \( j \) может принимать значения по следующему правилу: \[ j = l + s, l + s - 1, \dots, |l - s| \] Подставим \( l = 1 \) и \( s = \frac{1}{2} \): \[ j = 1 + \frac{1}{2},\ 1 - \frac{1}{2} \Rightarrow j = \frac{3}{2}, \frac{1}{2} \]
3. Проекция полного момента \( j_z \):
   • Для каждого значения \( j \), проекция полного момента \( j_z \) может принимать значения от \( -j \) до \( j \) с шагом в единицу:
     • Для \( j = \frac{3}{2} \), возможные значения \( j_z = -\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \).
     • Для \( j = \frac{1}{2} \), возможные значения \( j_z = -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \).
4. Результат измерения орбитального момента: В данном состоянии, орбитальный момент характеризуется квантовым числом \( l = 1 \), и результат измерения орбитального момента будет: \[ L = \hbar \sqrt{l(l + 1)} = \hbar \sqrt{2} \]

Задача B:

Рассмотрите задачу А для протона в \( d \)-состоянии.

Решение:

1. Определим орбитальный момент:
   • Для \( d \)-состояния орбитальное квантовое число \( l = 2 \). То есть орбитальный момент: \[ L = \hbar \sqrt{l(l + 1)} = \hbar \sqrt{2(2 + 1)} = \hbar \sqrt{6} \]
2. Полный момент:
   • У протона спин тоже \( s = \frac{1}{2} \). Полный момент \( j \) может принимать значения: \[ j = l + s, l + s - 1, \dots, |l - s| \] Подставим \( l = 2 \) и \( s = \frac{1}{2} \): \[ j = 2 + \frac{1}{2},\ 2 - \frac{1}{2} \Rightarrow j = \frac{5}{2}, \frac{3}{2} \]
3. Проекция полного момента \( j_z \):
   • Для каждого значения \( j \), проекция полного момента \( j_z \) может принимать значения от \( -j \) до \( j \) с шагом в единицу:
     • Для \( j = \frac{5}{2} \), возможные значения \( j_z = -\frac{5}{2}, -\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2} \).
     • Для \( j = \frac{3}{2} \), возможные значения \( j_z = -\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \).
4. Результат измерения орбитального момента: При измерении орбитального момента для протона в \( d \)-состоянии, результатом будет: \[ L = \hbar \sqrt{2(2 + 1)} = \hbar \sqrt{6} \]

A) Нейтрон в p-состоянии:

• Полный момент \( j \) принимает значения \( \frac{3}{2} \) и \( \frac{1}{2} \).
• Проекции момента \( j_z \) для \( j = \frac{3}{2} \) принимают значения \( j_z = -\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \), для \( j = \frac{1}{2} \): \( j_z = -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \).
• Результат измерения орбитального момента: \( L = \hbar \sqrt{2} \).

B) Протон в d-состоянии:

• Полный момент \( j \) принимает значения \( \frac{5}{2} \) и \( \frac{3}{2} \).
• Проекции момента \( j_z \) для \( j = \frac{5}{2} \) принимают значения \( j_z = -\frac{5}{2}, -\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2} \), а для \( j = \frac{3}{2} \): \( j_z = -\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \).
• Результат измерения орбитального момента: \( L = \hbar \sqrt{6} \).