Найти значения полного момента j и возможные значения проекции момента jz. Каким будет результат измерения орбитального момента частицы в этом состоянии

Предмет: Квантовая механика Раздел: Квантовая механика многочастичных систем, угловой момент.

Задача А:

Нейтрон находится в $\text{(}p\text{)}$-состоянии. Найти значения полного момента $\text{(}j\text{)}$ и возможные значения проекции момента $\text{(}{j}_z\text{)}$. Каков будет результат измерения орбитального момента частицы в этом состоянии?

Решение:

1. Определим орбитальный момент:
   • Нейтрон находится в $\text{(}p\text{)}$-состоянии, а значит, орбитальное квантовое число $\text{(}l=1\text{)}$. То есть, орбитальный момент частицы: $\text{[}L=\hslash \sqrt{l(l+1)}=\hslash \sqrt{1(1+1)}=\hslash \sqrt{2}\text{]}$
2. Определим полный момент:
   • Полный момент $\text{(}j\text{)}$ — это сумма орбитального момента $\text{(}L\text{)}$ и спина частицы. У нейтрона спин $\text{(}s=\frac{1}{2}\text{)}$. Полный момент $\text{(}j\text{)}$ может принимать значения по следующему правилу: $\text{[}j=l+s,l+s-1,\dots ,|l-s|\text{]}$ Подставим $\text{(}l=1\text{)}$ и $\text{(}s=\frac{1}{2}\text{)}$: $\text{[}j=1+\frac{1}{2},1-\frac{1}{2}\Rightarrow j=\frac{3}{2},\frac{1}{2}\text{]}$
3. Проекция полного момента $\text{(}{j}_z\text{)}$:
   • Для каждого значения $\text{(}j\text{)}$, проекция полного момента $\text{(}{j}_z\text{)}$ может принимать значения от $\text{(}-j\text{)}$ до $\text{(}j\text{)}$ с шагом в единицу:
     • Для $\text{(}j=\frac{3}{2}\text{)}$, возможные значения $\text{(}{j}_z=-\frac{3}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2}\text{)}$.
     • Для $\text{(}j=\frac{1}{2}\text{)}$, возможные значения $\text{(}{j}_z=-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\text{)}$.
4. Результат измерения орбитального момента: В данном состоянии, орбитальный момент характеризуется квантовым числом $\text{(}l=1\text{)}$, и результат измерения орбитального момента будет: $\text{[}L=\hslash \sqrt{l(l+1)}=\hslash \sqrt{2}\text{]}$

Задача B:

Рассмотрите задачу А для протона в $\text{(}d\text{)}$-состоянии.

Решение:

1. Определим орбитальный момент:
   • Для $\text{(}d\text{)}$-состояния орбитальное квантовое число $\text{(}l=2\text{)}$. То есть орбитальный момент: $\text{[}L=\hslash \sqrt{l(l+1)}=\hslash \sqrt{2(2+1)}=\hslash \sqrt{6}\text{]}$
2. Полный момент:
   • У протона спин тоже $\text{(}s=\frac{1}{2}\text{)}$. Полный момент $\text{(}j\text{)}$ может принимать значения: $\text{[}j=l+s,l+s-1,\dots ,|l-s|\text{]}$ Подставим $\text{(}l=2\text{)}$ и $\text{(}s=\frac{1}{2}\text{)}$: $\text{[}j=2+\frac{1}{2},2-\frac{1}{2}\Rightarrow j=\frac{5}{2},\frac{3}{2}\text{]}$
3. Проекция полного момента $\text{(}{j}_z\text{)}$:
   • Для каждого значения $\text{(}j\text{)}$, проекция полного момента $\text{(}{j}_z\text{)}$ может принимать значения от $\text{(}-j\text{)}$ до $\text{(}j\text{)}$ с шагом в единицу:
     • Для $\text{(}j=\frac{5}{2}\text{)}$, возможные значения $\text{(}{j}_z=-\frac{5}{2},-\frac{3}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{5}{2}\text{)}$.
     • Для $\text{(}j=\frac{3}{2}\text{)}$, возможные значения $\text{(}{j}_z=-\frac{3}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2}\text{)}$.
4. Результат измерения орбитального момента: При измерении орбитального момента для протона в $\text{(}d\text{)}$-состоянии, результатом будет: $\text{[}L=\hslash \sqrt{2(2+1)}=\hslash \sqrt{6}\text{]}$

A) Нейтрон в p-состоянии:

• Полный момент $\text{(}j\text{)}$ принимает значения $\text{(}\frac{3}{2}\text{)}$ и $\text{(}\frac{1}{2}\text{)}$.
• Проекции момента $\text{(}{j}_z\text{)}$ для $\text{(}j=\frac{3}{2}\text{)}$ принимают значения $\text{(}{j}_z=-\frac{3}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2}\text{)}$, для $\text{(}j=\frac{1}{2}\text{)}$: $\text{(}{j}_z=-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\text{)}$.
• Результат измерения орбитального момента: $\text{(}L=\hslash \sqrt{2}\text{)}$.

B) Протон в d-состоянии:

• Полный момент $\text{(}j\text{)}$ принимает значения $\text{(}\frac{5}{2}\text{)}$ и $\text{(}\frac{3}{2}\text{)}$.
• Проекции момента $\text{(}{j}_z\text{)}$ для $\text{(}j=\frac{5}{2}\text{)}$ принимают значения $\text{(}{j}_z=-\frac{5}{2},-\frac{3}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{5}{2}\text{)}$, а для $\text{(}j=\frac{3}{2}\text{)}$: $\text{(}{j}_z=-\frac{3}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2}\text{)}$.
• Результат измерения орбитального момента: $\text{(}L=\hslash \sqrt{6}\text{)}$.