Найти все уровни энергии в квантовой яме с прямоугольным профилем потенциала

Определение предмета и раздела:

Данное задание относится к физике, а конкретно к разделу квантовой механики. Это задача на квантовое движение частицы в потенциальной яме, которая рассматривается как одномерная или близкая к одномерной, базируясь на стационарном уравнении Шрёдингера.

---

Разбор задачи:

Мы рассматриваем квантовую яму с прямоугольным профилем потенциала. Условие, что в точке \( x = \frac{1}{2} \) второго уровня волновая функция равна \( 0 \), указывает на узловую точку волновой функции. Также нормировочный коэффициент \( B = 0 \). Однако здесь, согласно формулировке задачи, нормировочный коэффициент \( B \) не имеет смысла, учитывая набор условий.

1. Основы решений для частиц в потенциальной яме:

Потенциальная яма — это область пространства, в которой потенциал равен нулю (\( V(x) = 0 \) внутри ямы), а за пределами ямы частица не может находиться, так как потенциал там бесконечен (\( V(x) \to \infty \)).

Для ямы с бесконечными стенками шириной \( L \):

1. Волновая функция внутри ямы описывается формулой: \[ \psi_n(x) = A \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right), \] где \( n = 1, 2, 3, \ldots \) — квантовые числа (номера уровней энергии).
2. Энергия уровней: \[ E_n = \frac{n^2 h^2}{8mL^2}. \]

2. Условие задачи:

На втором уровне (\( n = 2 \)) требуется, чтобы волновая функция для \( x = \frac{L}{2} \) была равна нулю.

Проверим это для типичного решения. Волновая функция на втором уровне: \[ \psi_2(x) = A \sin\left(\frac{2 \pi x}{L}\right). \]

Подставим \( x = \frac{L}{2} \):

\[ \psi_2\left(\frac{L}{2}\right) = A \sin\left(\frac{2 \pi}{L} \cdot \frac{L}{2}\right) = A \sin(\pi). \]

Так как: \[ \sin(\pi) = 0, \] то действительно, вероятность нахождения электрона в этой точке равна нулю. Таким образом, условие для \( x = \frac{L}{2} \) автоматически выполняется.

3. Нормировочный коэффициент \( A \):

Для нормировки выполняется условие: \[ \int_0^L |\psi_2(x)|^2 dx = 1. \]

Подставим волновую функцию: \[ \int_0^L \left[A \sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\right]^2 dx = 1. \]

Раскроем квадрат: \[ A^2 \int_0^L \sin^2\left(\frac{2\pi x}{L}\right) dx = 1. \]

Используем известное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 u = \frac{1 - \cos(2u)}{2}. \]

Тогда интеграл становится: \[ A^2 \int_0^L \frac{1 - \cos\left(\frac{4\pi x}{L}\right)}{2} dx = 1. \]

Рассмотрим отдельно каждый интеграл:

1. Для первого члена \( \int_0^L \frac{1}{2} dx \):

   \[ \int_0^L \frac{1}{2} dx = \frac{1}{2} \cdot L. \]

2. Для второго члена \( \int_0^L \frac{-\cos\left(\frac{4\pi x}{L}\right)}{2} dx \):

   Этот интеграл равен нулю, так как косинус интегрируется за полный период.

Итак: \[ A^2 \cdot \frac{L}{2} = 1. \]

Отсюда: \[ A^2 = \frac{2}{L}, \quad A = \sqrt{\frac{2}{L}}. \]

Нормировочный коэффициент найден: \( A = \sqrt{\frac{2}{L}} \).

4. Энергетические уровни:

Энергия уровней задается формулой: \[ E_n = \frac{n^2 h^2}{8mL^2}. \]

Подставим значения квантового числа \( n \):

• Для первого уровня (\( n = 1 \)): \[ E_1 = \frac{h^2}{8mL^2}. \]
• Для второго уровня (\( n = 2 \)): \[ E_2 = \frac{4h^2}{8mL^2} = \frac{h^2}{2mL^2}. \]
• Для третьего уровня (\( n = 3 \)): \[ E_3 = \frac{9h^2}{8mL^2}. \]

---

Итоговый ответ:

1. Все энергетические уровни: \[ E_n = \frac{n^2 h^2}{8mL^2}, \quad n = 1, 2, 3, \ldots \]
2. Волновая функция для любого уровня: \[ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right). \]
3. Для второго уровня вероятность нахождения электрона в точке \( x = \frac{L}{2} \) равна нулю, так как узловые точки соответствуют \( \sin(kx) = 0 \).

Мне нужно увидеть текст с разметкой markdown, чтобы приступить к преобразованию. Пожалуйста, предоставьте текст, из которого нужно сделать HTML.