Найти вероятность пребывания частицы в области

Определение

Данная задача относится к квантовой механике, разделу квантовой теории прямоугольного потенциала.

Задача 3: Частица находится на третьем энергетическом уровне

Частица находится на третьем энергетическом уровне в одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками \( (0 < x < l) \). Найти вероятность пребывания частицы в области \( \frac{1}{4}l < x < \frac{2}{3}l \).

Шаг 1: Волновая функция частицы в прямоугольной яме

Для частицы, находящейся в одномерной потенциальной яме с непроницаемыми стенками, волновая функция на \( n \)-м энергетическом уровне задается как:

\[ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{l}} \sin\left( \frac{n \pi x}{l} \right), \]

где:

• \( n \) — номер энергетического уровня (в нашем случае \( n = 3 \)),
• \( l \) — ширина ямы,
• \( x \) — координата частицы внутри ямы.

Таким образом, для третьего энергетического уровня волновая функция имеет вид:

\[ \psi_3(x) = \sqrt{\frac{2}{l}} \sin\left( \frac{3 \pi x}{l} \right). \]

Шаг 2: Вероятность нахождения частицы в заданной области

Вероятность пребывания частицы в определенной области рассчитывается как интеграл от квадрата модуля волновой функции по данной области:

\[ P \left( \frac{1}{4}l < x < \frac{2}{3}l \right) = \int_{\frac{1}{4}l}^{\frac{2}{3}l} |\psi_3(x)|^2 \, dx. \]

Подставим выражение для волновой функции:

\[ P = \int_{\frac{1}{4}l}^{\frac{2}{3}l} \left( \sqrt{\frac{2}{l}} \sin\left( \frac{3 \pi x}{l} \right) \right)^2 dx = \frac{2}{l} \int_{\frac{1}{4}l}^{\frac{2}{3}l} \sin^2\left( \frac{3 \pi x}{l} \right) dx. \]

Напомним, что:

\[ \sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}. \]

Тогда:

\[ P = \frac{2}{l} \int_{\frac{1}{4}l}^{\frac{2}{3}l} \frac{1 - \cos\left( \frac{6\pi x}{l} \right)}{2} dx = \frac{1}{l} \int_{\frac{1}{4}l}^{\frac{2}{3}l} \left( 1 - \cos\left( \frac{6\pi x}{l} \right) \right) dx. \]

Шаг 3: Вычисление интегралов

Теперь разобьем интеграл на два:

\[ P = \frac{1}{l} \left[ \int_{\frac{1}{4}l}^{\frac{2}{3}l} dx - \int_{\frac{1}{4}l}^{\frac{2}{3}l} \cos\left( \frac{6\pi x}{l} \right) dx \right]. \]

1. Первый интеграл:

\[ \int_{\frac{1}{4}l}^{\frac{2}{3}l} dx = \frac{2}{3}l - \frac{1}{4}l = \left( \frac{8}{12} - \frac{3}{12} \right)l = \frac{5}{12}l. \]

2. Второй интеграл:

Для второго интеграла вычислим первообразную от \( \cos \left( \frac{6\pi x}{l} \right) \):

\[ \int \cos \left( \frac{6\pi x}{l} \right) dx = \frac{l}{6\pi} \sin \left( \frac{6\pi x}{l} \right). \]

Теперь подставим пределы \(\frac{1}{4}l\) и \(\frac{2}{3}l\):

\[ \int_{\frac{1}{4}l}^{\frac{2}{3}l} \cos \left( \frac{6\pi x}{l} \right) dx = \frac{l}{6\pi} \left[ \sin\left( 2\pi \right) - \sin\left( \frac{3\pi}{2} \right) \right] = \frac{l}{6\pi} \left[ 0 - (-1) \right] = \frac{l}{6\pi}. \]

Шаг 4: Итоговое выражение для вероятности

Теперь подставим значения интегралов:

\[ P = \frac{1}{l} \left( \frac{5}{12}l - \frac{l}{6\pi} \right) = \frac{5}{12} - \frac{1}{6\pi}. \]

Шаг 5: Численное решение

Выполним численные вычисления. Подставим значение \(\pi \approx 3.1416\):

\[ P \approx \frac{5}{12} - \frac{1}{6 \times 3.1416} \approx 0.4167 - 0.0531 = 0.3636. \]

Ответ

Вероятность нахождения частицы в области \( \frac{1}{4}l < x < \frac{2}{3}l \) равна приблизительно 0.364 или 36.4%.