Найти с помощью уравнения Шрёдингера постоянную α и энергию E частицы в этом состоянии

Предмет: Квантовая механика
Раздел: Уравнение Шрёдингера и собственные состояния

Дано:
Волновая функция частицы массы m в одномерном потенциальном поле U(x) = \frac{kx^2}{2} имеет вид:

\psi(x) = A e^{-\alpha x^2},

где A — нормировочный коэффициент, \alpha — положительная постоянная.

Требуется найти \alpha и энергию E частицы в этом состоянии, используя уравнение Шрёдингера:

-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi}{dx^2} + U(x) \psi = E \psi.

1. Вычисление второй производной волновой функции

Первая производная:
\frac{d\psi}{dx} = -2\alpha x A e^{-\alpha x^2}.

Вторая производная:
\frac{d^2\psi}{dx^2} = (-2\alpha A e^{-\alpha x^2}) + (-2\alpha x)(-2\alpha x A e^{-\alpha x^2}) = (-2\alpha + 4\alpha^2 x^2) A e^{-\alpha x^2}.

2. Подстановка в уравнение Шрёдингера

Подставляем найденные выражения в уравнение:

-\frac{\hbar^2}{2m} (-2\alpha + 4\alpha^2 x^2) A e^{-\alpha x^2} + \frac{kx^2}{2} A e^{-\alpha x^2} = E A e^{-\alpha x^2}.

Упрощаем:
\frac{\hbar^2}{2m} (2\alpha - 4\alpha^2 x^2) A e^{-\alpha x^2} + \frac{kx^2}{2} A e^{-\alpha x^2} = E A e^{-\alpha x^2}.

Разделим выражение на A e^{-\alpha x^2}:

\frac{\hbar^2}{2m} (2\alpha - 4\alpha^2 x^2) + \frac{kx^2}{2} = E.

3. Определение \alpha

Группируем слагаемые, содержащие x^2:

\left( -\frac{4\hbar^2 \alpha^2}{2m} + \frac{k}{2} \right) x^2 + \frac{2\hbar^2 \alpha}{2m} = E.

Так как это уравнение должно выполняться для всех x, коэффициенты при x^2 и свободные члены должны быть равны:

-\frac{4\hbar^2 \alpha^2}{2m} + \frac{k}{2} = 0.

Решаем относительно \alpha:

\frac{k}{2} = \frac{4\hbar^2 \alpha^2}{2m}.

\alpha^2 = \frac{km}{4\hbar^2}.

\alpha = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{km}{\hbar^2}}.

4. Определение энергии E

Из второго уравнения:

\frac{2\hbar^2 \alpha}{2m} = E.

Подставляем найденное \alpha:

E = \frac{\hbar^2}{m} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\frac{km}{\hbar^2}}.

E = \frac{1}{2} \hbar \sqrt{\frac{k}{m}}.

5. Итоговый результат

• \alpha = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{km}{\hbar^2}}.
• E = \frac{1}{2} \hbar \sqrt{\frac{k}{m}}.

Этот результат совпадает с энергией основного состояния квантового гармонического осциллятора, что подтверждает корректность решения.