Найти с помощью уравнения Шрёдингера постоянную α и энергию E частицы в этом состоянии

Предмет: Квантовая механика
Раздел: Уравнение Шрёдингера и собственные состояния

Дано:
Волновая функция частицы массы $m$ в одномерном потенциальном поле $U(x)=\frac{k{x}^2}{2}$ имеет вид:

$\psi (x)=A{e}^{-\alpha x^2}$,

где $A$ — нормировочный коэффициент, $\alpha$ — положительная постоянная.

Требуется найти $\alpha$ и энергию $E$ частицы в этом состоянии, используя уравнение Шрёдингера:

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2\psi }{d{x}^2}+U(x)\psi =E\psi .$

1. Вычисление второй производной волновой функции

Первая производная:
$\frac{d\psi }{dx}=-2\alpha xA{e}^{-\alpha x^2}.$

Вторая производная:
$\frac{d^2\psi }{d{x}^2}=(-2\alpha A{e}^{-\alpha x^2})+(-2\alpha x)(-2\alpha xA{e}^{-\alpha x^2})=(-2\alpha +4{\alpha }^2{x}^2)A{e}^{-\alpha x^2}.$

2. Подстановка в уравнение Шрёдингера

Подставляем найденные выражения в уравнение:

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}(-2\alpha +4{\alpha }^2{x}^2)A{e}^{-\alpha x^2}+\frac{k{x}^2}{2}A{e}^{-\alpha x^2}=EA{e}^{-\alpha x^2}.$

Упрощаем:
$\frac{{\hslash }^2}{2m}(2\alpha -4{\alpha }^2{x}^2)A{e}^{-\alpha x^2}+\frac{k{x}^2}{2}A{e}^{-\alpha x^2}=EA{e}^{-\alpha x^2}.$

Разделим выражение на $A{e}^{-\alpha x^2}$:

$\frac{{\hslash }^2}{2m}(2\alpha -4{\alpha }^2{x}^2)+\frac{k{x}^2}{2}=E.$

3. Определение $\alpha$

Группируем слагаемые, содержащие $x^2$:

$(-\frac{4{\hslash }^2{\alpha }^2}{2m}+\frac{k}{2})x^2+\frac{2{\hslash }^2\alpha }{2m}=E.$

Так как это уравнение должно выполняться для всех $x$, коэффициенты при $x^2$ и свободные члены должны быть равны:

$-\frac{4{\hslash }^2{\alpha }^2}{2m}+\frac{k}{2}=0.$

Решаем относительно $\alpha$:

$\frac{k}{2}=\frac{4{\hslash }^2{\alpha }^2}{2m}.$

${\alpha }^2=\frac{km}{4{\hslash }^2}.$

$\alpha =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{km}{{\hslash }^2}}.$

4. Определение энергии $E$

Из второго уравнения:

$\frac{2{\hslash }^2\alpha }{2m}=E.$

Подставляем найденное $\alpha$:

$E=\frac{{\hslash }^2}{m}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{km}{{\hslash }^2}}.$

$E=\frac{1}{2}\hslash \sqrt{\frac{k}{m}}.$

5. Итоговый результат

• $\alpha =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{km}{{\hslash }^2}}$.
• $E=\frac{1}{2}\hslash \sqrt{\frac{k}{m}}$.

Этот результат совпадает с энергией основного состояния квантового гармонического осциллятора, что подтверждает корректность решения.