Найти нормировочный коэффициент и среднее значение радиуса для электрона в атомеводорода

Предмет и раздел предмета

Физика, раздел квантовая механика (расчет свойств волновой функции электрона в атоме водорода).

Дано:

1. Волновая функция: \(\psi = g A e^{-r/a}\), где \(a\) — второй боровский радиус.
2. Нужно найти:
   1. Нормировочный коэффициент \(A\),
   2. Среднее значение радиуса \(\langle r \rangle\).

Решение:

1. Нормировка волновой функции

Согласно требованию нормировки, полный квадрат модуля волновой функции в целом пространстве должен равняться 1:

\[\int |\psi|^2 dV = 1.\]

Для однородной сферически-симметричной функции (т.е. зависимости только от \(r\)), такое условие записывается в сферических координатах как:

\[\int_0^\infty |\psi(r)|^2 4 \pi r^2 dr = 1.\]

Подставляем в это уравнение \(\psi(r) = g A e^{-r/a}\):

\[\int_0^\infty |A|^2 \cdot (e^{-r/a})^2 \cdot 4 \pi r^2 dr = 1.\]

Упрощаем:

\[\int_0^\infty 4 \pi |A|^2 r^2 e^{-2r/a} dr = 1.\]

Теперь выделим константу \(4 \pi |A|^2\):

\[4 \pi |A|^2 \int_0^\infty r^2 e^{-2r/a} dr = 1.\]

Используем стандартный интеграл

Интеграл \(\int_0^\infty x^n e^{-kx} dx\) равен \(\frac{n!}{k^{n+1}}\). Здесь \(n = 2\), \(k = \frac{2}{a}\), значит:

\[\int_0^\infty r^2 e^{-2r/a} dr = \frac{2!}{(2/a)^3} = \frac{2}{(8/a^3)} = \frac{a^3}{4}.\]

Подставляем обратно:

\[4 \pi |A|^2 \cdot \frac{a^3}{4} = 1.\]

Упростим:

\[\pi |A|^2 a^3 = 1.\]

Находим \(A\):

\[|A|^2 = \frac{1}{\pi a^3},\]

\[A = \sqrt{\frac{1}{\pi a^3}} = \frac{1}{\sqrt{\pi a^3}}.\]

Итак, нормировочный коэффициент:

\[A = \frac{1}{\sqrt{\pi a^3}}.\]

2. Среднее значение радиуса \(\langle r \rangle\)

Среднее значение радиуса в квантовой механике рассчитывается как:

\[\langle r \rangle = \int_0^\infty r |\psi(r)|^2 4 \pi r^2 dr.\]

Подставляем \(\psi(r) = A e^{-r/a}\):

\[\langle r \rangle = \int_0^\infty r \cdot \left(A^2 e^{-2r/a}\right) \cdot 4 \pi r^2 dr.\]

Выносим константы (\(A^2 = \frac{1}{\pi a^3}\)):

\[\langle r \rangle = 4 \pi A^2 \int_0^\infty r^3 e^{-2r/a} dr.\]

Подставляем \(A^2\):

\[\langle r \rangle = 4 \pi \cdot \frac{1}{\pi a^3} \int_0^\infty r^3 e^{-2r/a} dr.\]

Сокращаем \(4 \pi\) и \(\pi\):

\[\langle r \rangle = \frac{4}{a^3} \int_0^\infty r^3 e^{-2r/a} dr.\]

Используем стандартный интеграл

Для \(\int_0^\infty x^n e^{-kx} dx = \frac{n!}{k^{n+1}}\), здесь \(n = 3\), \(k = \frac{2}{a}\). Подставляем:

\[\int_0^\infty r^3 e^{-2r/a} dr = \frac{3!}{(2/a)^4} = \frac{6}{16/a^4} = \frac{a^4}{8}.\]

Возвращаемся к формуле:

\[\langle r \rangle = \frac{4}{a^3} \cdot \frac{a^4}{8}.\]

Упрощаем:

Ответ:

1. Нормировочный коэффициент: \(A = \frac{1}{\sqrt{\pi a^3}}\),
2. Среднее значение радиуса: \(\langle r \rangle = \frac{a}{2}\).

\[\langle r \rangle = \frac{4 a}{8} = \frac{a}{2}.\]