Найти красную границу фотоэффекта для атома водорода, используя модель атома Бора

Предмет: Физика

Раздел: Квантовая физика, фотоэффект, модель атома Бора

Условие задания:

Найти красную границу фотоэффекта для атома водорода, используя модель атома Бора.

Теория:

1. Красная граница фотоэффекта — это минимальная частота и, соответственно, максимальная длина волны света, при которой электроны могут покидать атом (или поверхность вещества) из-за действия фотоэффекта.
2. Для удаления электрона из атома водорода требуется энергия, равная энергии ионизации атома водорода (это энергия, необходимая для перевода электрона с основного уровня \(n = 1\) на уровень \(n = \infty\)).
3. В модели атома Бора энергия электрона на уровне \(n\) задаётся формулой: \[ E_n = -\frac{13.6 \, \text{эВ}}{n^2}, \] где \(E_n\) — энергия на уровне \(n\), а 13.6 эВ — энергия основного уровня (\(n = 1\)).
4. Энергия фотона выражается через частоту и длину волны как: \[ E_{\text{фотона}} = h \nu = \frac{hc}{\lambda}, \] где:
   • \(h = 6.63 \cdot 10^{-34} \, \text{Дж·с}\) — постоянная Планка,
   • \(\nu\) — частота фотона,
   • \(c = 3 \cdot 10^8 \, \text{м/с}\) — скорость света в вакууме,
   • \(\lambda\) — длина волны фотона.
5. Для красной границы фотоэффекта энергия фотона равна энергии ионизации.

Решение:

1. Энергия ионизации атома водорода (для перехода с уровня \(n = 1\) на уровень \(n = \infty\)): \[ E_{\text{ионизации}} = E_\infty - E_1 = 0 - \left(-13.6 \, \text{эВ}\right) = 13.6 \, \text{эВ}. \] Переведём энергию ионизации в джоули: \[ 1 \, \text{эВ} = 1.6 \cdot 10^{-19} \, \text{Дж}, \] поэтому: \[ E_{\text{ионизации}} = 13.6 \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} = 2.176 \cdot 10^{-18} \, \text{Дж}. \]
2. Находим длину волны для соответствующей энергии фотона: \[ E_{\text{фотона}} = \frac{hc}{\lambda}. \] Отсюда: \[ \lambda = \frac{hc}{E_{\text{фотона}}}. \] Подставим значения: \[ h = 6.63 \cdot 10^{-34} \, \text{Дж·с}, \, c = 3 \cdot 10^8 \, \text{м/с}, \, E_{\text{фотона}} = 2.176 \cdot 10^{-18} \, \text{Дж}. \] Получаем: \[ \lambda = \frac{6.63 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^8}{2.176 \cdot 10^{-18}}. \] Проведём вычисления: \[ \lambda \approx 9.11 \cdot 10^{-8} \, \text{м}. \] Переведём в нанометры (\(1 \, \text{нм} = 10^{-9} \, \text{м}\)): \[ \lambda \approx 91.1 \, \text{нм}. \]

Ответ:

Красная граница фотоэффекта для атома водорода составляет примерно \(91.1 \, \text{нм}\).