Найти длину волны соответствующую переходу с 3-го уровня на 1-й

Определение предмета и раздела:

Предмет: Физика

Раздел: Квантовая механика, задача на квантовую яму.

Решение задачи:

Дано:

1. Длина волны при переходе со 2-го уровня на 1-й: \( \lambda_{2 \to 1} = 670 \, \text{нм} \).
2. Система — бесконечно глубокая квантовая яма с прямоугольным профилем потенциала.

Необходимо: Найти длину волны \( \lambda_{3 \to 1} \), соответствующую переходу с 3-го уровня на 1-й.

1. Энергетические уровни бесконечно глубокой квантовой ямы:

Энергетические уровни электрона описываются выражением: \[ E_n = \frac{n^2 h^2}{8mL^2}, \]

где:

• \( n \) — номер уровня,
• \( h \) — постоянная Планка,
• \( m \) — масса частицы,
• \( L \) — ширина ямы.

2. Энергия, излучаемая при переходе:

Энергия фотона, излучаемого при переходе между уровнями \( n_1 \) и \( n_2 \), равна разности энергий уровней: \[ \Delta E_{n_1 \to n_2} = E_{n_1} - E_{n_2} = \frac{h^2}{8mL^2} (n_1^2 - n_2^2). \]

3. Связь энергии фотона с длиной волны:

Энергия фотона связана с длиной волны через соотношение: \[ \Delta E = h c / \lambda, \]

где:

• \( c \) — скорость света в вакууме,
• \( \lambda \) — длина волны излучения.

4. Найдём ширину ямы \( L \) из данных для перехода \( 2 \to 1 \):

Для перехода \( 2 \to 1 \), энергия фотона: \[ \Delta E_{2 \to 1} = \frac{h^2}{8mL^2} (2^2 - 1^2) = \frac{h^2}{8mL^2} (4 - 1) = \frac{3h^2}{8mL^2}. \]

С учётом \( \Delta E = h c / \lambda \), имеем: \[ \frac{3h^2}{8mL^2} = \frac{h c}{\lambda_{2 \to 1}}. \]

Упростим: \[ L^2 = \frac{3h \lambda_{2 \to 1}}{8m c}. \]

5. Выразим энергию перехода \( 3 \to 1 \):

Для перехода \( 3 \to 1 \): \[ \Delta E_{3 \to 1} = \frac{h^2}{8mL^2} (3^2 - 1^2) = \frac{h^2}{8mL^2} (9 - 1) = \frac{8h^2}{8mL^2} = \frac{h^2}{mL^2}. \]

Теперь можем выразить \[ \frac{h c}{\lambda_{3 \to 1}} = \frac{h^2}{mL^2}. \]

6. Найдём длину волны \( \lambda_{3 \to 1} \):

\[ \frac{\lambda_{3 \to 1}}{\lambda_{2 \to 1}} = \frac{\Delta E_{2 \to 1}}{\Delta E_{3 \to 1}}. \]

С учётом соотношений: \[ \frac{\lambda_{3 \to 1}}{\lambda_{2 \to 1}} = \frac{3}{8}. \]

Подставим: \[ \lambda_{3 \to 1} = \lambda_{2 \to 1} \cdot \frac{3}{8} = 670 \cdot \frac{3}{8}. \]

Рассчитаем: \[ \lambda_{3 \to 1} = 251.25 \, \text{нм}. \]

Ответ:

Длина волны перехода с 3-го на 1-й уровень: \[ \lambda_{3 \to 1} = 251.25 \, \text{нм}. \]