Найти длину волны фотона, излучаемого при переходе с третьего уровня на первый

Определение предмета и раздела

Это задание относится к предмету физики, а конкретно к квантовой механике, разделу, который изучает свойства частиц и квантовых систем (в данном случае — систему в потенциальной яме).

Условие задачи

Нам дана бесконечно глубокая прямоугольная квантовая яма. Длина волны излучённого фотона при переходе со второго энергетического уровня на первый составляет \( \lambda_{21} = 670 \, \text{нм} \). Требуется найти длину волны фотона, излучаемого при переходе с третьего уровня на первый, то есть \( \lambda_{31} \).

Теория и подход к задаче

1. Энергетический спектр частицы в бесконечно глубокой яме

Частица (например, электрон) в квантовой потенциальной яме с бесконечно высокими стенками имеет дискретный энергетический спектр. Уровни энергии определяются выражением:

\[ E_n = \frac{n^2 h^2}{8mL^2}, \quad n = 1, 2, 3, \dots, \]

где:

• \( n \) — квантовое число, определяющее энергетический уровень;
• \( h \) — постоянная Планка;
• \( m \) — масса частицы (например, масса электрона);
• \( L \) — ширина (размер) ямы.

2. Энергия фотона при переходе между уровнями

Когда частица переходит с уровня \( n_2 > n_1 \) на уровень \( n_1 \), она излучает фотон с энергией, равной разности уровней:

\[ \Delta E = E_{n_2} - E_{n_1} = \frac{h^2}{8mL^2} \left( n_2^2 - n_1^2 \right). \]

Эта энергия связана с длиной волны фотона \( \lambda \) через уравнение:

\[ \Delta E = h \nu = \frac{hc}{\lambda}, \]

где \( \nu \) — частота, а \( c \) — скорость света.

3. Цель задачи

Наша цель — выразить длину волны для перехода \( n = 3 \to n = 1 \) (\( \lambda_{31} \)) через известную длину волны для перехода \( n = 2 \to n = 1 \) (\( \lambda_{21} = 670 \, \text{нм} \)). Для упрощения расчетов будем использовать относительные энергетические уровни (\( n^2 - n^2 \)).

Решение задачи

1. Энергия для перехода \( n = 2 \to n = 1 \) (известная \( \lambda_{21} \)):

Для перехода \( n = 2 \to n = 1 \), разность энергий:

\[ \Delta E_{21} = \frac{h^2}{8mL^2} \left( 2^2 - 1^2 \right) = \frac{h^2}{8mL^2} (4 - 1) = \frac{h^2}{8mL^2} \cdot 3. \]

Эта энергия связана с длиной волны \( \lambda_{21} \):

\[ \Delta E_{21} = \frac{hc}{\lambda_{21}}. \]

Подставляем выражение для энергии:

\[ \frac{hc}{\lambda_{21}} = \frac{h^2}{8mL^2} \cdot 3. \tag{1} \]

2. Энергия для перехода \( n = 3 \to n = 1 \) (ищем \( \lambda_{31} \)):

Для перехода \( n = 3 \to n = 1 \), разность энергий:

\[ \Delta E_{31} = \frac{h^2}{8mL^2} \left( 3^2 - 1^2 \right) = \frac{h^2}{8mL^2} (9 - 1) = \frac{h^2}{8mL^2} \cdot 8. \]

Эта энергия связана с длиной волны \( \lambda_{31} \):

\[ \Delta E_{31} = \frac{hc}{\lambda_{31}}. \]

Подставляем выражение для энергии:

\[ \frac{hc}{\lambda_{31}} = \frac{h^2}{8mL^2} \cdot 8. \tag{2} \]

3. Отношение энергий

Из уравнений (1) и (2) видно, что:

\[ \frac{\Delta E_{31}}{\Delta E_{21}} = \frac{\frac{h^2}{8mL^2} \cdot 8}{\frac{h^2}{8mL^2} \cdot 3} = \frac{8}{3}. \]

Так как энергия обратно пропорциональна длине волны (\( \Delta E \sim \frac{1}{\lambda} \)), можем записать:

\[ \frac{\lambda_{21}}{\lambda_{31}} = \frac{\Delta E_{31}}{\Delta E_{21}} = \frac{8}{3}. \]

Отсюда:

\[ \lambda_{31} = \lambda_{21} \cdot \frac{3}{8}. \]

4. Подстановка значений

Подставим \( \lambda_{21} = 670 \, \text{нм} \):

\[ \lambda_{31} = 670 \cdot \frac{3}{8} = 670 \cdot 0.375 = 251.25 \, \text{нм}. \]

Ответ

Длина волны фотона, излучаемого при переходе с третьего уровня на первый, составляет:

\[ \lambda_{31} = 251.25 \, \text{нм}. \]