Найти длину волны де Бройля, учитывая изменение массы электрона в зависимости от скорости

Предмет: Физика
Раздел: Квантовая механика, релятивистская механика (релятивистская динамика и волновые свойства частиц)

Условие задачи:

Электрон движется со скоростью
v = 200 \text{ Мм/с} = 2 \cdot 10^8 \text{ м/с}.

Найти длину волны де Бройля \lambda, учитывая изменение массы электрона в зависимости от скорости, то есть — с учетом релятивистского эффекта.

Теория:

Длина волны де Бройля определяется формулой:

\lambda = \frac{h}{p},

где:

• h — постоянная Планка, h = 6.626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж·с},
• p — импульс частицы.

Для релятивистского случая импульс выражается как:

p = \gamma m_0 v,

где:

• m_0 — покоящаяся масса электрона, m_0 = 9.109 \cdot 10^{-31} \text{ кг},
• v — скорость электрона,
• \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} — релятивистский коэффициент Лоренца,
• c = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} — скорость света.

Решение:

1. Вычислим коэффициент Лоренца \gamma:

 \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{2 \cdot 10^8}{3 \cdot 10^8} \right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{2}{3} \right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{4}{9}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{5}{9}}} = \frac{1}{\sqrt{0.5556}} \approx 1.3416 

2. Найдем релятивистский импульс:

 p = \gamma m_0 v = 1.3416 \cdot 9.109 \cdot 10^{-31} \cdot 2 \cdot 10^8 \approx 2.446 \cdot 10^{-22} \text{ кг·м/с} 

3. Теперь найдем длину волны де Бройля:

 \lambda = \frac{h}{p} = \frac{6.626 \cdot 10^{-34}}{2.446 \cdot 10^{-22}} \approx 2.708 \cdot 10^{-12} \text{ м} = 2.71 \text{ пм} 

Ответ:

Длина волны де Бройля электрона с учетом релятивистского увеличения массы:
\lambda \approx 2.71 \text{ пм}