Нахождение динамических параметров для всех круговых орбит электронов в атоме водорода

Предмет: Физика
Раздел предмета: Квантовая механика, атомная физика (модель Бора)

Задача заключается в нахождении динамических параметров для всех круговых орбит электронов в атоме водорода, таких как радиусы, скорости, энергии, частоты, периоды обращения и относительный параметр $\text{(}\frac{v}{c}\text{)}$, где $\text{(}v\text{)}$ — скорость электрона, а $\text{(}c\text{)}$ — скорость света. Массу ядра можно считать бесконечно большой, что означает, что расчёты можно производить с учётом неподвижного ядра.

Решение:

Будем использовать модель атома Бора, которая описывает поведение электрона на круговых орбитах вокруг ядра атома водорода. Основные уравнения модели Бора позволяют найти радиусы орбит, скорости движущихся электронов, энергии и другие динамические параметры.

1. Радиусы орбит:

В модели Бора радиусы орбит электронов вычисляются по формуле: $\text{[}{r}_n=\frac{n^2{\hslash }^2}{k{e}^2{m}_e}=a_0{n}^2,\text{]}$ где

• $\text{(}n\text{)}$ — номер орбиты (главное квантовое число),
• $\text{(}\hslash \text{)}$ — редуцированная постоянная Планка $\text{(}\hslash =\frac{h}{2\pi }\text{)}$,
• $\text{(}k\text{)}$ — кулоновская постоянная,
• $\text{(}e\text{)}$ — заряд электрона,
• $\text{(}{m}_e\text{)}$ — масса электрона,
• $\text{(}{a}_0\approx 0.529\times {10}^{-10}\text{ м}\text{)}$ — боровский радиус.

2. Скорость электрона на n-й орбите:

Скорость электрона на круговой орбите может быть найдена с помощью уравнения: $\text{[}{v}_n=\frac{e^2}{\hslash }\cdot \frac{1}{n}=v_1\frac{1}{n},\text{]}$ где

• $\text{(}{v}_1\text{)}$ — скорость электрона на первой орбите(),
• $\text{(}{v}_1=\alpha c\approx 2.18\times {10}^6\text{ м/с}\text{)}$ (стала тонкой структуры).

3. Энергия электрона:

Полная механическая энергия электрона на орбите включает кинетическую и потенциальную энергии. Для n-й орбиты энергия равна: $\text{[}{E}_n=-\frac{13.6}{n^2}\text{ эВ}.\text{]}$ Эта энергия отрицательна, что означает связанное состояние электрона (чем ближе к ядру, тем глубже энергия).

4. Частота обращения:

Частота обращения электрона по орбите равна: $\text{[}{\nu }_n=\frac{v_n}{2\pi r_n}.\text{]}$ Подставив выражения для $\text{(}{v}_n\text{)}$ и $\text{(}{r}_n\text{)}$, находим: $\text{[}{\nu }_n=\frac{k^2{e}^4{m}_e}{4{\pi }^3{\hslash }^3}\cdot \frac{1}{n^3}.\text{]}$

5. Период обращения:

Период обращения электрона можно найти как обратную величину частоты: $\text{[}{T}_n=\frac{1}{{\nu }_n}=\frac{2\pi r_n}{v_n}.\text{]}$

6. Релятивистский параметр $\text{(}\frac{v_n}{c}\text{)}$:

Вывод:

• Радиус орбиты возрастает как $\text{(}{r}_n\propto n^2\text{)}$.
• Скорость электрона убывает с увеличением номера орбиты $\text{(}{v}_n\propto \frac{1}{n}\text{)}$.
• Полная энергия электрона на орбите убывает как $\text{(}{E}_n\propto \frac{1}{n^2}\text{)}$.
• Частота движения электрона убывает как $\text{(}{\nu }_n\propto \frac{1}{n^3}\text{)}$.
• Период обращения возрастает как $\text{(}{T}_n\propto n^3\text{)}$.
• Параметр $\text{(}\frac{v_n}{c}\propto \frac{1}{n}\text{)}$, показывая, что скорость заметно меньше скорости света на всех ङ

Этот параметр помогает определить, насколько близка скорость электрона к скорости света: $\text{[}\frac{v_n}{c}=\frac{\alpha }{n},\text{]}$ где $\text{(}\alpha \text{)}$ — постоянная тонкой структуры $\text{(}\alpha \approx \frac{1}{137}\text{)}$. На первой орбите $\text{(}\frac{v_1}{c}\approx 0.0073\text{)}$, что значительно меньше скорости света, поэтому релятивистские эффекты слабы на низких орбитах.