Предмет: Физика
Раздел предмета: Квантовая механика, атомная физика (модель Бора)
Задача заключается в нахождении динамических параметров для всех круговых орбит электронов в атоме водорода, таких как радиусы, скорости, энергии, частоты, периоды обращения и относительный параметр , где — скорость электрона, а — скорость света. Массу ядра можно считать бесконечно большой, что означает, что расчёты можно производить с учётом неподвижного ядра.
Решение:
Будем использовать модель атома Бора, которая описывает поведение электрона на круговых орбитах вокруг ядра атома водорода. Основные уравнения модели Бора позволяют найти радиусы орбит, скорости движущихся электронов, энергии и другие динамические параметры.
1. Радиусы орбит:
В модели Бора радиусы орбит электронов вычисляются по формуле: где
- — номер орбиты (главное квантовое число),
- — редуцированная постоянная Планка ,
- — кулоновская постоянная,
- — заряд электрона,
- — масса электрона,
- — боровский радиус.
Получаем, что радиусы орбит изменяются квадратично с увеличением номера уровня .
2. Скорость электрона на n-й орбите:
Скорость электрона на круговой орбите может быть найдена с помощью уравнения: где
- — скорость электрона на первой орбите(),
- (стала тонкой структуры).
Скорость электрона на орбите обратно пропорциональна квантовому числу .
3. Энергия электрона:
Полная механическая энергия электрона на орбите включает кинетическую и потенциальную энергии. Для n-й орбиты энергия равна: Эта энергия отрицательна, что означает связанное состояние электрона (чем ближе к ядру, тем глубже энергия).
4. Частота обращения:
Частота обращения электрона по орбите равна: Подставив выражения для и , находим:
5. Период обращения:
Период обращения электрона можно найти как обратную величину частоты:
6. Релятивистский параметр :
Вывод:
- Радиус орбиты возрастает как .
- Скорость электрона убывает с увеличением номера орбиты .
- Полная энергия электрона на орбите убывает как .
- Частота движения электрона убывает как .
- Период обращения возрастает как .
- Параметр , показывая, что скорость заметно меньше скорости света на всех ङ
Этот параметр помогает определить, насколько близка скорость электрона к скорости света: где — постоянная тонкой структуры . На первой орбите , что значительно меньше скорости света, поэтому релятивистские эффекты слабы на низких орбитах.