Нахождение динамических параметров для всех круговых орбит электронов в атоме водорода

Предмет: Физика
Раздел предмета: Квантовая механика, атомная физика (модель Бора)

Задача заключается в нахождении динамических параметров для всех круговых орбит электронов в атоме водорода, таких как радиусы, скорости, энергии, частоты, периоды обращения и относительный параметр \( \frac{v}{c} \), где \( v \) — скорость электрона, а \( c \) — скорость света. Массу ядра можно считать бесконечно большой, что означает, что расчёты можно производить с учётом неподвижного ядра.

Решение:

Будем использовать модель атома Бора, которая описывает поведение электрона на круговых орбитах вокруг ядра атома водорода. Основные уравнения модели Бора позволяют найти радиусы орбит, скорости движущихся электронов, энергии и другие динамические параметры.

1. Радиусы орбит:

В модели Бора радиусы орбит электронов вычисляются по формуле: \[ r_n = \frac{n^2 \hbar^2}{k e^2 m_e} = a_0 n^2, \] где

• \( n \) — номер орбиты (главное квантовое число),
• \( \hbar \) — редуцированная постоянная Планка \( \hbar = \frac{h}{2\pi} \),
• \( k \) — кулоновская постоянная,
• \( e \) — заряд электрона,
• \( m_e \) — масса электрона,
• \( a_0 \approx 0.529 \times 10^{-10} \text{ м} \) — боровский радиус.

2. Скорость электрона на n-й орбите:

Скорость электрона на круговой орбите может быть найдена с помощью уравнения: \[ v_n = \frac{e^2}{\hbar} \cdot \frac{1}{n} = v_1 \frac{1}{n}, \] где

• \( v_1 \) — скорость электрона на первой орбите(),
• \( v_1 = \alpha c \approx 2.18 \times 10^6 \text{ м/с} \) (стала тонкой структуры).

3. Энергия электрона:

Полная механическая энергия электрона на орбите включает кинетическую и потенциальную энергии. Для n-й орбиты энергия равна: \[ E_n = - \frac{13.6}{n^2} \text{ эВ}. \] Эта энергия отрицательна, что означает связанное состояние электрона (чем ближе к ядру, тем глубже энергия).

4. Частота обращения:

Частота обращения электрона по орбите равна: \[ \nu_n = \frac{v_n}{2 \pi r_n}. \] Подставив выражения для \( v_n \) и \( r_n \), находим: \[ \nu_n = \frac{k^2 e^4 m_e}{4 \pi^3 \hbar^3} \cdot \frac{1}{n^3}. \]

5. Период обращения:

Период обращения электрона можно найти как обратную величину частоты: \[ T_n = \frac{1}{\nu_n} = \frac{2 \pi r_n}{v_n}. \]

6. Релятивистский параметр \(\frac{v_n}{c}\):

Вывод:

• Радиус орбиты возрастает как \( r_n \propto n^2 \).
• Скорость электрона убывает с увеличением номера орбиты \( v_n \propto \frac{1}{n} \).
• Полная энергия электрона на орбите убывает как \( E_n \propto \frac{1}{n^2} \).
• Частота движения электрона убывает как \( \nu_n \propto \frac{1}{n^3} \).
• Период обращения возрастает как \( T_n \propto n^3 \).
• Параметр \( \frac{v_n}{c} \propto \frac{1}{n} \), показывая, что скорость заметно меньше скорости света на всех ङ

Этот параметр помогает определить, насколько близка скорость электрона к скорости света: \[ \frac{v_n}{c} = \frac{\alpha}{n}, \] где \( \alpha \) — постоянная тонкой структуры \( \alpha \approx \frac{1}{137} \). На первой орбите \( \frac{v_1}{c} \approx 0.0073 \), что значительно меньше скорости света, поэтому релятивистские эффекты слабы на низких орбитах.