Нахождение динамических параметров для всех круговых орбит электронов в атоме водорода

Предмет: Физика
Раздел предмета: Квантовая механика, атомная физика (модель Бора)

Задача заключается в нахождении динамических параметров для всех круговых орбит электронов в атоме водорода, таких как радиусы, скорости, энергии, частоты, периоды обращения и относительный параметр \(vc\), где \(v\) — скорость электрона, а \(c\) — скорость света. Массу ядра можно считать бесконечно большой, что означает, что расчёты можно производить с учётом неподвижного ядра.

Решение:

Будем использовать модель атома Бора, которая описывает поведение электрона на круговых орбитах вокруг ядра атома водорода. Основные уравнения модели Бора позволяют найти радиусы орбит, скорости движущихся электронов, энергии и другие динамические параметры.

1. Радиусы орбит:

В модели Бора радиусы орбит электронов вычисляются по формуле: \[rn=n22ke2me=a0n2,\] где

  • \(n\) — номер орбиты (главное квантовое число),
  • \(\) — редуцированная постоянная Планка \(=h2π\),
  • \(k\) — кулоновская постоянная,
  • \(e\) — заряд электрона,
  • \(me\) — масса электрона,
  • \(a00.529×1010 м\) — боровский радиус.
Получаем, что радиусы орбит изменяются квадратично с увеличением номера уровня \(n\).

2. Скорость электрона на n-й орбите:

Скорость электрона на круговой орбите может быть найдена с помощью уравнения: \[vn=e21n=v11n,\] где

  • \(v1\) — скорость электрона на первой орбите(),
  • \(v1=αc2.18×106 м/с\) (стала тонкой структуры).
Скорость электрона на орбите обратно пропорциональна квантовому числу \(n\).

3. Энергия электрона:

Полная механическая энергия электрона на орбите включает кинетическую и потенциальную энергии. Для n-й орбиты энергия равна: \[En=13.6n2 эВ.\] Эта энергия отрицательна, что означает связанное состояние электрона (чем ближе к ядру, тем глубже энергия).

4. Частота обращения:

Частота обращения электрона по орбите равна: \[νn=vn2πrn.\] Подставив выражения для \(vn\) и \(rn\), находим: \[νn=k2e4me4π331n3.\]

5. Период обращения:

Период обращения электрона можно найти как обратную величину частоты: \[Tn=1νn=2πrnvn.\]

6. Релятивистский параметр \(vnc\):

Вывод:

  • Радиус орбиты возрастает как \(rnn2\).
  • Скорость электрона убывает с увеличением номера орбиты \(vn1n\).
  • Полная энергия электрона на орбите убывает как \(En1n2\).
  • Частота движения электрона убывает как \(νn1n3\).
  • Период обращения возрастает как \(Tnn3\).
  • Параметр \(vnc1n\), показывая, что скорость заметно меньше скорости света на всех ङ

Этот параметр помогает определить, насколько близка скорость электрона к скорости света: \[vnc=αn,\] где \(α\) — постоянная тонкой структуры \(α1137\). На первой орбите \(v1c0.0073\), что значительно меньше скорости света, поэтому релятивистские эффекты слабы на низких орбитах.

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Узнайте стоимость работы онлайн

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн
Напишем БЕСПЛАТНО любую работу за 30 минут