Изучить условия существования хотя бы одной круговой орбиты в рамках модели Бора для различных потенциальных функций

Задача относится к курсу теоретической физики, а именно к разделу квантовой механики и классической механики в рамках модели Бора. В ней требуется изучить условия существования хотя бы одной круговой орбиты в рамках модели Бора для различных потенциальных функций \( U(r) \).

Теоретическое обоснование:

Модель Бора описывает движение частицы (например, электрона) вокруг центрального тела (ядра) на орбите при определенных радиусах, которые соответствуют разрешенным энергетическим уровням. Зададим условие круговой орбиты: на круговой орбите центростремительная сила равна силе, задаваемой градиентом потенциала \( F_r = - \frac{dU(r)}{dr} \). В общем случае для круговых орбит требуется выполнение следующих условий:

• Существует минимум потенциальной энергии для радиуса \( r_0 \), или хотя бы одна точка, в которой силовой потенциал уравновешивает центробежную силу.
• Условие для круговой орбиты: \( \frac{d}{dr}U_\text{эфф}(r) = 0 \), где \( U_\text{эфф}(r) = U(r) + \frac{L^2}{2mr^2} \) — эффективный потенциал, включающий центробежную энергию. При этом \( m \) — масса частицы, \( L \) — угловой момент, который для круговой орбиты является постоянным.

Решение для каждого потенциала:

1. Гармонический осциллятор:

Эффективный потенциал: \[ U_\text{эфф}(r) = \frac{k r^2}{2} + \frac{L^2}{2mr^2} \] Найдем минимум эффективного потенциала, дифференцируя его по \( r \): \[ \frac{dU_\text{эфф}}{dr} = k r - \frac{L^2}{mr^3} = 0 \] \[ k r^4 = \frac{L^2}{m} \quad \Rightarrow \quad r^2 = \frac{L^2}{km} \] Решение показывает, что существует хотя бы одна круговая орбита при условии, что радиус орбиты \( r \) равен \( \sqrt{\frac{L^2}{km}} \). Это необходимо и достаточно для круговой орбиты.

2. Кулоновский потенциал:

Эффективный потенциал: \[ U_\text{эфф}(r) = -\frac{Ze^2}{r} + \frac{L^2}{2mr^2} \] Дифференцируем этот потенциал по \( r \): \[ \frac{dU_\text{эфф}}{dr} = \frac{Ze^2}{r^2} - \frac{L^2}{mr^3} = 0 \] \[ Ze^2 = \frac{L^2}{mr} \quad \Rightarrow \quad r = \frac{L^2}{mZe^2} \] Следовательно, существует круговая орбита для кулоновского потенциала.

3. Потенциал \( U(r) = k/r \)

Эффективный потенциал: \[ U_\text{эфф}(r) = \frac{k}{r} + \frac{L^2}{2mr^2} \] Дифференцируем: \[ \frac{dU_\text{эфф}}{dr} = -\frac{k}{r^2} + \frac{L^2}{mr^3} = 0 \] \[ k = \frac{L^2}{mr} \quad \Rightarrow \quad r = \frac{L^2}{mk} \] Следовательно, существует круговая орбита, если потенциал обратно пропорционален \( r \).

4. Потенциал Юкавы:

Эффективный потенциал: \[ U(r) = - U_0 e^{-r^2/a^2} \] U_\text{эфф}(r) = - U_0 e^{-r^2/a^2} + \frac{L^2}{2mr^2} Дифференцируем: \[ \frac{dU_\text{эфф}}{dr} = 2 \cdot \frac{r}{a^2} U_0 e^{-r^2/a^2} - \frac{L^2}{mr^3} = 0 \] Это уравнение не имеет аналитического решения, но численный анализ показывает, что такие орбиты могут существовать при параметрах \( U_0 \), \( a \) и \( L \), обеспечива["[\( U_0 \)" class="formula", "a" и "L"]("formula", "a")ющих наличие минимума эффективного потенциала.

Ответ:

Необходимое и достаточное условие существования круговой орбиты выполняется для всех указанных видов потенциалов (а, б, в, г).