Требуется определить угол, под которым электрон отлетел к направлению движения падающего фотона

Предмет: Физика
Раздел: Квантовая физика, эффекты взаимодействия излучения с веществом (Комптоновское рассеяние)

Условие задачи:

Фотон с длиной волны \[\lambda = \lambda_c\] (где \[\lambda_c\] — комптоновская длина волны электрона) рассеивается на свободном электроне под углом 90°. Требуется определить угол, под которым электрон отлетел к направлению движения падающего фотона.

Теория:

Рассматривается Комптоновское рассеяние — неупругое рассеяние фотона на свободном электроне, при котором происходит передача энергии и импульса от фотона электрону.

Из закона сохранения импульса и энергии получаются уравнения:

• Закон сохранения импульса по оси X: \[p_{\gamma} = p'_{\gamma} \cos\theta + p_e \cos\phi\]

• Закон сохранения импульса по оси Y: \[0 = p'_{\gamma} \sin\theta - p_e \sin\phi\]

• Закон сохранения энергии: \[E_{\gamma} + m_e c^2 = E'_{\gamma} + \sqrt{(p_e c)^2 + (m_e c^2)^2}\]

где:

• \[p_{\gamma}\] — импульс начального фотона,
• \[p'_{\gamma}\] — импульс рассеянного фотона,
• \[p_e\] — импульс электрона,
• \[\theta = 90^\circ\] — угол рассеяния фотона,
• \[\phi\] — угол вылета электрона (то, что нужно найти),
• \[\lambda_c = \frac{h}{m_e c}\] — комптоновская длина волны электрона.

Решение:

1. Комптоновская формула для изменения длины волны фотона при рассеянии:

 \[\Delta \lambda = \lambda' - \lambda = \lambda_c (1 - \cos\theta)\] 

При \[\theta = 90^\circ\]:

 \[\Delta \lambda = \lambda_c (1 - \cos 90^\circ) = \lambda_c \cdot 1 = \lambda_c\] 

Значит:

 \[\lambda' = \lambda + \lambda_c = \lambda_c + \lambda_c = 2\lambda_c\] 

2. Импульсы фотонов:

Импульс фотона: \[p = \frac{h}{\lambda}\]

Тогда:

• импульс начального фотона: \[p_{\gamma} = \frac{h}{\lambda_c}\]
• импульс рассеянного фотона: \[p'_{\gamma} = \frac{h}{2\lambda_c}\]

3. Система уравнений по осям:

По оси X:

 \[\frac{h}{\lambda_c} = \frac{h}{2\lambda_c} \cdot \cos(90^\circ) + p_e \cos\phi = 0 + p_e \cos\phi\] 

 \[\Rightarrow p_e \cos\phi = \frac{h}{\lambda_c} \tag{1}\] 

По оси Y:

 \[0 = \frac{h}{2\lambda_c} \cdot \sin(90^\circ) - p_e \sin\phi\] 

 \[\Rightarrow p_e \sin\phi = \frac{h}{2\lambda_c} \tag{2}\] 

4. Найдем тангенс угла φ:

Разделим (2) на (1):

 \[\tan\phi = \frac{p_e \sin\phi}{p_e \cos\phi} = \frac{\frac{h}{2\lambda_c}}{\frac{h}{\lambda_c}} = \frac{1}{2}\] 

 \[\Rightarrow \phi = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) \approx 26.57^\circ\] 

Ответ:

\[\phi \approx 26.6^\circ\]

Электрон отлетел под углом ≈ 26.6° к направлению движения падающего фотона.