Определить неопределенность энергии электрона в электрон-вольтах, используя принцип неопределенности Гейзенберга

Предмет: Физика
Раздел: Квантовая механика, принцип неопределенности Гейзенберга

Условие задачи:
Электрон находится внутри атома диаметром 0,4 нм. Необходимо определить неопределенность энергии электрона в электрон-вольтах, используя принцип неопределенности Гейзенберга.

Шаг 1: Принцип неопределенности Гейзенберга

Принцип неопределенности Гейзенберга гласит, что:

[\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}]

где:

• [\Delta x] — неопределенность в координате,
• [\Delta p] — неопределенность в импульсе,
• [\hbar = \frac{h}{2\pi} \approx 1.055 \cdot 10^{-34} \text{ Дж·с}] — приведённая постоянная Планка.

Шаг 2: Оценим неопределенность координаты

Диаметр атома:
[d = 0.4 \text{ нм} = 0.4 \cdot 10^{-9} \text{ м}]

Предположим, что электрон локализован в пределах атома, тогда:

[\Delta x \approx d = 0.4 \cdot 10^{-9} \text{ м}]

Шаг 3: Найдём неопределенность импульса

Из принципа неопределенности:

[\Delta p \geq \frac{\hbar}{2 \cdot \Delta x}]

Подставим значения:

 \Delta p \geq \frac{1.055 \cdot 10^{-34}}{2 \cdot 0.4 \cdot 10^{-9}} = \frac{1.055 \cdot 10^{-34}}{8 \cdot 10^{-10}} \approx 1.32 \cdot 10^{-25} \text{ кг·м/с} 

Шаг 4: Найдём неопределенность энергии

Предположим, что энергия электрона — это кинетическая энергия, связанная с неопределённостью импульса:

[\Delta E \approx \frac{(\Delta p)^2}{2m}]

где [m = 9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}] — масса электрона.

Подставим:

 \Delta E \approx \frac{(1.32 \cdot 10^{-25})^2}{2 \cdot 9.11 \cdot 10^{-31}} = \frac{1.74 \cdot 10^{-50}}{1.822 \cdot 10^{-30}} \approx 9.55 \cdot 10^{-21} \text{ Дж} 

Шаг 5: Переведём в электрон-вольты

1 эВ = [1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}]

 \Delta E \approx \frac{9.55 \cdot 10^{-21}}{1.6 \cdot 10^{-19}} \approx 0.06 \text{ эВ} 

Ответ:

\Delta E \approx 0.06 \text{ эВ}

Это и есть неопределенность энергии электрона, находящегося в атоме диаметром 0,4 нм.