Найти работу выхода из металла

Предмет: Физика
Раздел: Квантовая физика, фотоэффект

Условие задачи:

Поверхность металла освещают светом с частотами:

• [ \nu_1 = 6 \cdot 10^{14} \text{ Гц} ]
• [ \nu_2 = 7{,}5 \cdot 10^{14} \text{ Гц} ]

Максимальная скорость фотоэлектронов при первой частоте в 1,2 раза меньше, чем при второй.
Найти работу выхода [ A_{\text{вых}} ] из металла.

Теория:

По уравнению Эйнштейна для фотоэффекта:

 E = h\nu = A_{\text{вых}} + \frac{mv^2}{2} 

где:

• [ h = 6{,}626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж·с} ] — постоянная Планка,
• [ \nu ] — частота света,
• [ A_{\text{вых}} ] — работа выхода,
• [ \frac{mv^2}{2} ] — кинетическая энергия фотоэлектрона.

Обозначим:

• Первая частота: [ \nu_1 = 6 \cdot 10^{14} ]
• Вторая частота: [ \nu_2 = 7{,}5 \cdot 10^{14} ]
• Скорости электронов: [ v_1 ] и [ v_2 ]
• По условию: [ v_1 = \frac{v_2}{1{,}2} ]

Шаг 1: Запишем уравнения Эйнштейна для двух случаев:

Для первой частоты:

 h\nu_1 = A_{\text{вых}} + \frac{1}{2}mv_1^2 \quad \text{(1)} 

Для второй частоты:

 h\nu_2 = A_{\text{вых}} + \frac{1}{2}mv_2^2 \quad \text{(2)} 

Шаг 2: Вычтем (1) из (2):

 h(\nu_2 - \nu_1) = \frac{1}{2}m(v_2^2 - v_1^2) 

Подставим [ v_1 = \frac{v_2}{1{,}2} ]:

 v_1^2 = \left( \frac{v_2}{1{,}2} \right)^2 = \frac{v_2^2}{1{,}44} 

Тогда:

 h(\nu_2 - \nu_1) = \frac{1}{2}m\left( v_2^2 - \frac{v_2^2}{1{,}44} \right) = \frac{1}{2}mv_2^2\left( 1 - \frac{1}{1{,}44} \right) = \frac{1}{2}mv_2^2 \cdot \frac{0{,}44}{1{,}44} 

Шаг 3: Найдём [ \frac{1}{2}mv_2^2 ]:

Выразим из уравнения (2):

 \frac{1}{2}mv_2^2 = h\nu_2 - A_{\text{вых}} \quad \text{(3)} 

Шаг 4: Подставим (3) в выражение разности энергий:

 h(\nu_2 - \nu_1) = (h\nu_2 - A_{\text{вых}}) \cdot \frac{0{,}44}{1{,}44} 

Решим это уравнение относительно [ A_{\text{вых}} ]:

 A_{\text{вых}} = h\nu_2 - h(\nu_2 - \nu_1) \cdot \frac{1{,}44}{0{,}44} 

Шаг 5: Подставим значения:

[ h = 6{,}626 \cdot 10^{-34} ]
[ \nu_1 = 6 \cdot 10^{14} ]
[ \nu_2 = 7{,}5 \cdot 10^{14} ]

Разность частот:

[ \nu_2 - \nu_1 = 1{,}5 \cdot 10^{14} ]

Теперь подставим:

 A_{\text{вых}} = h \cdot \left[ \nu_2 - (\nu_2 - \nu_1) \cdot \frac{1{,}44}{0{,}44} \right] 

Сначала вычислим:

 \frac{1{,}44}{0{,}44} \approx 3{,}27 

Тогда:

 A_{\text{вых}} = h \cdot \left[ 7{,}5 \cdot 10^{14} - 1{,}5 \cdot 10^{14} \cdot 3{,}27 \right] = h \cdot \left[ 7{,}5 - 4{,}905 \right] \cdot 10^{14} = h \cdot 2{,}595 \cdot 10^{14} 

Подставим [ h ]:

 A_{\text{вых}} = 6{,}626 \cdot 10^{-34} \cdot 2{,}595 \cdot 10^{14} \approx 1{,}719 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} 

Ответ:

 \boxed{A_{\text{вых}} \approx 1{,}72 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}} 

Или в электрон-вольтах:

 1 \text{ эВ} = 1{,}602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} 

 A_{\text{вых}} \approx \frac{1{,}72 \cdot 10^{-19}}{1{,}602 \cdot 10^{-19}} \approx 1{,}07 \text{ эВ} 

 \boxed{A_{\text{вых}} \approx 1{,}07 \text{ эВ}}