Найти энергию фотона до рассеяния

Предмет: Физика
Раздел: Квантовая физика, взаимодействие излучения с веществом (эффект Комптона)

Условие задачи:

Фотон рассеивается на свободном электроне под углом \theta = 120^\circ. В результате электрон получает кинетическую энергию K = 0{,}45 МэВ. Требуется найти энергию \varepsilon фотона до рассеяния.

Теория:

Рассматривается эффект Комптона — неупругое рассеяние фотона на свободном электроне. Закон сохранения энергии в этом процессе:

 \varepsilon = \varepsilon' + K 

где:

• \varepsilon — энергия фотона до рассеяния,
• \varepsilon' — энергия фотона после рассеяния,
• K — кинетическая энергия электрона после столкновения.

Энергия рассеянного фотона связана с углом рассеяния по формуле Комптона:

 \frac{1}{\varepsilon'} - \frac{1}{\varepsilon} = \frac{1 - \cos\theta}{m_e c^2} 

где:

• m_e c^2 = 0{,}511 МэВ — энергия покоя электрона,
• \theta = 120^\circ — угол рассеяния фотона.

Решение:

1. Запишем закон сохранения энергии:

 \varepsilon = \varepsilon' + K \quad \Rightarrow \quad \varepsilon' = \varepsilon - K 

2. Подставим в уравнение Комптона:

 \frac{1}{\varepsilon - K} - \frac{1}{\varepsilon} = \frac{1 - \cos\theta}{m_e c^2} 

Вычислим правую часть:

 \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad 1 - \cos\theta = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} 

 \frac{1 - \cos\theta}{m_e c^2} = \frac{3/2}{0{,}511} \approx 2{,}937 

Теперь решим уравнение:

 \frac{1}{\varepsilon - 0{,}45} - \frac{1}{\varepsilon} = 2{,}937 

Введем обозначение: \varepsilon = x. Тогда:

 \frac{1}{x - 0{,}45} - \frac{1}{x} = 2{,}937 

Приведем к общему знаменателю:

 \frac{x - (x - 0{,}45)}{x(x - 0{,}45)} = 2{,}937 \quad \Rightarrow \quad \frac{0{,}45}{x(x - 0{,}45)} = 2{,}937 

Теперь выразим x:

 x(x - 0{,}45) = \frac{0{,}45}{2{,}937} \approx 0{,}1532 

Раскроем скобки:

 x^2 - 0{,}45x - 0{,}1532 = 0 

Решим квадратное уравнение:

Дискриминант:

 D = (-0{,}45)^2 + 4 \cdot 0{,}1532 = 0{,}2025 + 0{,}6128 = 0{,}8153 

 x = \frac{0{,}45 \pm \sqrt{0{,}8153}}{2} \approx \frac{0{,}45 \pm 0{,}903}{2} 

Берём положительное значение:

 x \approx \frac{0{,}45 + 0{,}903}{2} \approx \frac{1{,}353}{2} \approx 0{,}6765 

Ответ:

\varepsilon \approx 0{,}68 \ \text{МэВ}

Энергия фотона до рассеяния составляет примерно 0,68 МэВ.