Найти: Частоту рассеянного фотона Кинетическую энергию отдачи электрона

Предмет: Физика
Раздел: Квантовая физика, взаимодействие излучения с веществом (эффект Комптона)

Условие задачи:

Дан фотон с длиной волны [\lambda = 6{,}0\,\text{пм}], который рассеивается под прямым углом (на [90^\circ]) на свободном неподвижном электроне.

Найти:

1. Частоту [\omega'] рассеянного фотона
2. Кинетическую энергию отдачи электрона [K]

Дано:

• [\lambda = 6{,}0\,\text{пм} = 6{,}0 \cdot 10^{-12}\,\text{м}]
• Угол рассеяния [\theta = 90^\circ]
• Комптоновская длина волны электрона: [\lambda_c = 2{,}43\,\text{пм} = 2{,}43 \cdot 10^{-12}\,\text{м}]
• Постоянная Планка: [h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{Дж}\cdot\text{с}]
• Скорость света: [c = 3{,}0 \cdot 10^8\,\text{м/с}]

Шаг 1: Используем формулу Комптона

Формула Комптона для изменения длины волны фотона:

 [\Delta \lambda = \lambda' - \lambda = \lambda_c (1 - \cos \theta)] 

При [\theta = 90^\circ] получаем:

 [\cos 90^\circ = 0 \Rightarrow \Delta \lambda = \lambda_c] 

Следовательно:

 [\lambda' = \lambda + \lambda_c = 6{,}0 + 2{,}43 = 8{,}43\,\text{пм} = 8{,}43 \cdot 10^{-12}\,\text{м}] 

Шаг 2: Найдём частоту рассеянного фотона

Используем формулу связи частоты и длины волны:

 [\omega' = \frac{2\pi c}{\lambda'}] 

Подставим:

 [\omega' = \frac{2\pi \cdot 3{,}0 \cdot 10^8}{8{,}43 \cdot 10^{-12}} \approx 2{,}24 \cdot 10^{20}\,\text{рад/с}] 

Шаг 3: Найдём энергию начального и рассеянного фотона

Энергия фотона:

 [E = h \nu = \frac{h c}{\lambda}] 

Начальная энергия фотона:

 [E = \frac{6{,}626 \cdot 10^{-34} \cdot 3{,}0 \cdot 10^8}{6{,}0 \cdot 10^{-12}} \approx 3{,}31 \cdot 10^{-14}\,\text{Дж}] 

Энергия рассеянного фотона:

 [E' = \frac{h c}{\lambda'} = \frac{6{,}626 \cdot 10^{-34} \cdot 3{,}0 \cdot 10^8}{8{,}43 \cdot 10^{-12}} \approx 2{,}36 \cdot 10^{-14}\,\text{Дж}] 

Шаг 4: Найдём кинетическую энергию электрона

По закону сохранения энергии:

 [K = E - E' = 3{,}31 \cdot 10^{-14} - 2{,}36 \cdot 10^{-14} = 0{,}95 \cdot 10^{-14}\,\text{Дж}] 

Переведём в электронвольты:

 [1\,\text{эВ} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{Дж}] 

 [K \approx \frac{0{,}95 \cdot 10^{-14}}{1{,}602 \cdot 10^{-19}} \approx 5{,}93 \cdot 10^{4}\,\text{эВ} = 59{,}3\,\text{кэВ}] 

Ответ:

• Частота рассеянного фотона:
  [\omega' \approx 2{,}24 \cdot 10^{20}\,\text{рад/с}]

• Кинетическая энергия электрона:
  [K \approx 59{,}3\,\text{кэВ}]