Найти частоту рассеянного фотона

Предмет: Физика
Раздел: Квантовая физика, взаимодействие излучения с веществом (эффект Комптона)

Условие задачи:

• Длина волны падающего фотона: [ \lambda = 6{,}0 \, \text{пм} = 6{,}0 \cdot 10^{-12} \, \text{м} ]
• Угол рассеяния: [ \theta = 90^\circ ]
• Комптоновская длина волны электрона: [ \lambda_c = 2{,}43 \, \text{пм} = 2{,}43 \cdot 10^{-12} \, \text{м} ]

Найти:

1. Частоту рассеянного фотона [ \omega' ]
2. Кинетическую энергию электрона отдачи [ K ]

Шаг 1: Используем формулу Комптона

Формула изменения длины волны фотона при рассеянии:

 [ \Delta \lambda = \lambda' - \lambda = \lambda_c (1 - \cos \theta) ] 

При [ \theta = 90^\circ ] имеем [ \cos \theta = 0 ], тогда:

 [ \Delta \lambda = \lambda_c ] 

Следовательно, длина волны рассеянного фотона:

 [ \lambda' = \lambda + \lambda_c = 6{,}0 + 2{,}43 = 8{,}43 \, \text{пм} ] 

Шаг 2: Найдём частоту рассеянного фотона

Используем соотношение между длиной волны и частотой:

 [ \omega' = \frac{2\pi c}{\lambda'} ] 

Где:

• [ c = 3 \cdot 10^8 \, \text{м/с} ] — скорость света
• [ \lambda' = 8{,}43 \cdot 10^{-12} \, \text{м} ]

Подставим:

 [ \omega' = \frac{2\pi \cdot 3 \cdot 10^8}{8{,}43 \cdot 10^{-12}} \approx \frac{1{,}884 \cdot 10^9}{8{,}43 \cdot 10^{-12}} \approx 2{,}234 \cdot 10^{20} \, \text{рад/с} ] 

Шаг 3: Найдём кинетическую энергию электрона отдачи

Разность энергий фотонов до и после рассеяния идёт на кинетическую энергию электрона:

 [ K = h\nu - h\nu' = hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'} \right) ] 

Где:

• [ h = 6{,}626 \cdot 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с} ]
• [ c = 3 \cdot 10^8 \, \text{м/с} ]

Подставим:

 \begin{align*} K &= \frac{6{,}626 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^8}{1} \left( \frac{1}{6{,}0 \cdot 10^{-12}} - \frac{1}{8{,}43 \cdot 10^{-12}} \right) \ &= 1{,}9878 \cdot 10^{-25} \left( \frac{1}{6{,}0 \cdot 10^{-12}} - \frac{1}{8{,}43 \cdot 10^{-12}} \right) \ &= 1{,}9878 \cdot 10^{-25} \left( 1{,}6667 \cdot 10^{11} - 1{,}1861 \cdot 10^{11} \right) \ &= 1{,}9878 \cdot 10^{-25} \cdot 4{,}806 \cdot 10^{10} \approx 9{,}55 \cdot 10^{-15} \, \text{Дж} \end{align*} 

Переведём в электронвольты:

 [ K \approx \frac{9{,}55 \cdot 10^{-15}}{1{,}6 \cdot 10^{-19}} \approx 59{,}7 \, \text{эВ} ] 

Ответ:

• Частота рассеянного фотона: [ \omega' \approx 2{,}23 \cdot 10^{20} \, \text{рад/с} ]
• Кинетическая энергия электрона: [ K \approx 59{,}7 \, \text{эВ} ]