Построить векторную диаграмму сложения амплитуд

Предмет: Физика

Раздел: Механические колебания

Задача

Нам даны два гармонических колебания, описываемые уравнениями: \( x_1 = 4\sin(\pi t), \) \( x_2 = 3\sin(\pi t + \frac{\pi}{2}), \) где \( x_1 \) и \( x_2 \) — это смещения колеблющихся тел в сантиметрах, \( t \) — это время в секундах.

Требуется:

1. Построить векторную диаграмму сложения амплитуд.
2. Записать уравнение результирующего гармонического колебания.

Шаг 1: Анализ колебаний

Каждое гармоническое колебание можно представить в виде вектора (или в виде вращающегося радиуса на диаграмме).

• Колебание \( x_1 \) имеет амплитуду \( A_1 = 4 \) см и фазу \( \varphi_1 = 0 \), так как в уравнении \( \sin(\pi t) \) фазы нет.
• Колебание \( x_2 \) имеет амплитуду \( A_2 = 3 \) см и начальную фазу \( \varphi_2 = \frac{\pi}{2} \). Это означает, что первое колебание \( x_1 \) имеет фазу 0, а второе колебание \( x_2 \) опережает его по фазе на \( \frac{\pi}{2} \).

Вектор второго колебания \( x_2 \) на фазовой диаграмме будет смещен на угол \( 90^\circ \) относительно вектора первого колебания.

Шаг 2: Построение векторной диаграммы

Амплитуды \( A_1 = 4 \) и \( A_2 = 3 \) представим как векторы на плоскости:

• Вектор \( A_1 = 4 \) направлен вдоль оси \( x \) (так как фаза равна 0).
• Вектор \( A_2 = 3 \) направлен вдоль оси \( y \) (так как фаза опережает на \( 90^\circ \)).

Теперь нужно сложить эти векторы по правилу параллелограмма или по теореме Пифагора. Амплитуды векторов перпендикулярны друг другу, поэтому результирующая амплитуда \( A_{\text{рез}} \) может быть найдена как гипотенуза:

\[ A_{\text{рез}} = \sqrt{A_1^2 + A_2^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \, \text{см}. \]

Шаг 3: Определение результирующей фазы

Тангенс угла результирующего вектора относительно оси \( x \) равен отношению амплитуд:

\[ \tan \varphi_{\text{рез}} = \frac{A_2}{A_1} = \frac{3}{4}. \]

Отсюда, угол фазового сдвига:

\[ \varphi_{\text{рез}} = \arctan\left(\frac{3}{4}\right) \approx 0{,}6435 \, \text{рад}. \]

Шаг 4: Запись уравнения результирующего колебания

Итак, результирующее гармоническое колебание имеет амплитуду \( A_{\text{рез}} = 5 \) см и фазу \( \varphi_{\text{рез}} \approx 0{,}6435 \) рад. Теперь можно записать уравнение результирующего колебания в виде:

\[ x_{\text{рез}} = A_{\text{рез}} \sin(\pi t + \varphi_{\text{рез}}), \]

Подставляем значения:

\[ x_{\text{рез}} = 5 \sin(\pi t + 0{,}6435). \]

Вывод:

1. Векторная диаграмма представляет собой два перпендикулярных вектора с длинами 4 и 3.
2. Уравнение результирующего колебания: \[ x_{\text{рез}} = 5 \sin(\pi t + 0{,}6435) \, \text{см}. \]

Это и есть окончательное уравнение результирующего колебания.