Построить графики скорости и перемещения

Определение

Предмет: Физика
Раздел: Кинематика

Разберем каждое задание отдельно.

Гр 125

На графике показана зависимость ускорения \(a\) от времени \(t\). Требуется построить графики скорости \(V(t)\) и перемещения \(S(t)\). Указано, что при \(t = 0\), \(V = 0\), а тело было в покое, то есть \(S = 0\).

Анализ графика ускорения:

1. На участке \(0 \le t \le t_1\): \(a = a_0\) (ускорение постоянно).
2. На участке \(t_1 \le t \le t_2\): \(a = 0\) (ускорение равно нулю, тело движется равномерно).
3. На участке \(t_2 \le t \le t_3\): \(a = -a_0\) (ускорение отрицательное, торможение).

Решение:

1. График скорости \(V(t)\):
   Скорость определяется через интеграл от ускорения:
   \[ V(t) = \int a(t)\, dt + C, \] где \(C\) — начальная скорость (\(C = 0\)).
   • На участке \(0 \le t \le t_1\):
     \[ V(t) = a_0 t. \]
     График — линейная возрастающая прямая.
   • На участке \(t_1 \le t \le t_2\): Скорость остается постоянной (\(V = V_{\text{max}} = a_0 t_1\)).
   • На участке \(t_2 \le t \le t_3\): Скорость уменьшается:
     \[ V(t) = V_{\text{max}} - a_0 (t - t_2). \]
2. График перемещения \(S(t)\):
   Перемещение связано со скоростью:
   \[ S(t) = \int V(t)\, dt. \]
   • На участке \(0 \le t \le t_1\):
     \[ S(t) = \frac{a_0 t^2}{2}. \]
     График — парабола (ветви вверх).
   • На участке \(t_1 \le t \le t_2\):
     \[ S(t) = S(t_1) + V_{\text{max}} (t - t_1), \]
     где \(S(t_1) = \frac{a_0 t_1^2}{2}\). График — линейная зависимость.
   • На участке \(t_2 \le t \le t_3\):
     \[ S(t) = S(t_2) + V_{\text{max}} (t - t_2) - \frac{a_0 (t - t_2)^2}{2}. \]

Гр 101

На графике показана зависимость скорости \(V(t)\) от времени. Необходимо построить графики перемещения \(S(t)\) и ускорения \(a(t)\).

Анализ графика скорости:

1. На участке \(0 \le t \le t_1\): линейное уменьшение скорости (тело замедляется).
2. На участке \(t_1 \le t \le t_2\): скорость постоянна.
3. На участке \(t_2 \le t \le t_3\): \(V = 0\).

Решение:

1. График ускорения \(a(t)\):
   Ускорение связано с изменением скорости:
   \[ a(t) = \frac{dV(t)}{dt}. \]
   • На участке \(0 \le t \le t_1\): Ускорение постоянно отрицательное (\(a = \text{константа} < 0\)).
   • На участке \(t_1 \le t \le t_2\): Ускорение равно \(0\) (скорость постоянна).
   • На участке \(t_2 \le t \le t_3\): Ускорение также равно \(0\), так как скорость не меняется (\(V = 0\)).
2. График перемещения \(S(t)\):
   Перемещение связано со скоростью:
   \[ S(t) = \int V(t)\, dt. \]
   • На участке \(0 \le t \le t_1\):
     \[ S(t) = \frac{V_0 t}{2}. \]
     График является частью параболы.
   • На участке \(t_1 \le t \le t_2\):
     \[ S(t) = S(t_1) + V_{\text{конст.}} (t - t_1). \]
   • На участке \(t_2 \le t \le t_3\): Перемещение не увеличивается, так как тело остановилось (\(S = \text{константа}\)).

3-е Задание

Условие: Тело совершает два одинаковых перемещения со скоростями 10 м/с под углом \(30^\circ\) и 30 м/с под углом \(150^\circ\) к оси \(OX\). Требуется найти вектор средней скорости \( \vec{v}_{\text{ср}} \).

Решение:

1. Рассчитаем векторы перемещений \( \vec{S}_1 \) и \( \vec{S}_2 \):
   Для первого перемещения (\(v_1 = 10 \, \text{м/с}\), \(\alpha_1 = 30^\circ\)):
   \[ \vec{S}_1 = \vec{v}_1 \cdot t_1 = (10\cos30^\circ, 10\sin30^\circ) \Delta t = (5\sqrt{3}, 5) \Delta t. \]
   Для второго перемещения (\(v_2 = 30 \, \text{м/с}\), \(\alpha_2 = 150^\circ\)):
   \[ \vec{S}_2 = \vec{v}_2 \cdot t_2 = (30\cos150^\circ, 30\sin150^\circ) \Delta t = (-15\sqrt{3}, 15) \Delta t. \]
2. Найдем полное перемещение:
   \[ \vec{S}_{\text{общ}} = \vec{S}_1 + \vec{S}_2 = (5\sqrt{3}, 5) \Delta t + (-15\sqrt{3}, 15) \Delta t = (-10\sqrt{3}, 20) \Delta t. \]
3. Найдем вектор средней скорости:
   Средняя скорость:
   \[ \vec{v}_{\text{ср}} = \frac{\vec{S}_{\text{общ}}}{2\Delta t}. \]
   Подставляем:
   \[ \vec{v}_{\text{ср}} = \frac{(-10\sqrt{3}, 20)}{2} = (-5\sqrt{3}, 10) \, \text{м/с}. \]

Ответ: Вектор средней скорости: \((-5\sqrt{3}, 10) \, \text{м/с}\).