По заданным уравнениям движения точки М х = x(t) и у — y(t) установить и построить вид её траектории

Предмет: Физика
Раздел: Кинематика (изучение движения точки по заданным координатным уравнениям)

Дано (по условию №7):

Из таблицы:

• [a = 6 \text{ см}]
• [b = 1 \text{ см}]
• [c = 3 \text{ см}]
• [d = 4 \text{ см}]

Уравнения движения точки:  x(t) = d \cdot \sin\left(\frac{\pi t}{6}\right)   y(t) = -a + b \cdot \cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) - d + c 

Подставим значения параметров:  x(t) = 4 \cdot \sin\left(\frac{\pi t}{6}\right)   y(t) = -6 + 1 \cdot \cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) - 4 + 3 = -7 + \cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) 

1. Построение траектории

Траектория — это геометрическое место точек [M(x(t), y(t))]. Чтобы её построить, выразим [y] через [x].

Из уравнения:  x = 4 \cdot \sin\left(\frac{\pi t}{6}\right) \Rightarrow \sin\left(\frac{\pi t}{6}\right) = \frac{x}{4} 

Тогда:  \frac{\pi t}{6} = \arcsin\left(\frac{x}{4}\right) 

Теперь подставим в [y(t)]:  y = -7 + \cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) = -7 + \cos\left(\arcsin\left(\frac{x}{4}\right)\right) 

Используем тригонометрическое тождество:  \cos(\arcsin(z)) = \sqrt{1 - z^2} 

Следовательно:  y = -7 + \sqrt{1 - \left(\frac{x}{4}\right)^2} 

Итак, уравнение траектории:  y = -7 + \sqrt{1 - \frac{x^2}{16}} 

Это уравнение верхней полуокружности радиуса 4, смещённой вниз на 7 см.

2. Положение точки при [t = 1 \text{ с}]

Подставим [t = 1] в уравнения:

 x(1) = 4 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 \text{ см} 

 y(1) = -7 + \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -7 + \frac{\sqrt{3}}{2} \approx -7 + 0.866 = -6.134 \text{ см} 

3. Скорость точки

Скорость — это вектор, компоненты которого:  v_x = \frac{dx}{dt}, \quad v_y = \frac{dy}{dt} 

Вычислим производные:

 x(t) = 4 \cdot \sin\left(\frac{\pi t}{6}\right) \Rightarrow v_x = \frac{dx}{dt} = 4 \cdot \frac{\pi}{6} \cdot \cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) 

 y(t) = -7 + \cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) \Rightarrow v_y = \frac{dy}{dt} = - \frac{\pi}{6} \cdot \sin\left(\frac{\pi t}{6}\right) 

Подставим [t = 1]:

• v_x = \frac{2\pi}{3} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{2\pi}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi \sqrt{3}}{3} \approx 1.814 \text{ см/с}
• v_y = -\frac{\pi}{6} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\pi}{6} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{\pi}{12} \approx -0.262 \text{ см/с}

Модуль скорости:  v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \approx \sqrt{(1.814)^2 + (-0.262)^2} \approx \sqrt{3.291 + 0.069} \approx \sqrt{3.36} \approx 1.833 \text{ см/с} 

4. Ускорение

Компоненты ускорения:  a_x = \frac{d^2x}{dt^2}, \quad a_y = \frac{d^2y}{dt^2} 

Вторые производные:

 a_x = -4 \cdot \left(\frac{\pi}{6}\right)^2 \cdot \sin\left(\frac{\pi t}{6}\right) 

 a_y = -\left(\frac{\pi}{6}\right)^2 \cdot \cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) 

При [t = 1]:

• a_x = -4 \cdot \left(\frac{\pi}{6}\right)^2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -4 \cdot \frac{\pi^2}{36} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{\pi^2}{18} \approx -0.548 \text{ см/с}^2
• a_y = -\left(\frac{\pi}{6}\right)^2 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\pi^2}{36} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.238 \text{ см/с}^2

Модуль полного ускорения:  a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} \approx \sqrt{(-0.548)^2 + (-0.238)^2} \approx \sqrt{0.3 + 0.057} \approx \sqrt{0.357} \approx 0.597 \text{ см/с}^2 

5. Касательное и нормальное ускорения

• Касательное ускорение:  a_\tau = \frac{d|\vec{v}|}{dt} 

Но проще через скалярное произведение:  a_\tau = \frac{\vec{v} \cdot \vec{a}}{|\vec{v}|} 

Вычислим:  \vec{v} \cdot \vec{a} = v_x a_x + v_y a_y \approx 1.814 \cdot (-0.548) + (-0.262) \cdot (-0.238) \approx -0.994 + 0.062 = -0.932 

 a_\tau = \frac{-0.932}{1.833} \approx -0.508 \text{ см/с}^2 

• Нормальное ускорение:  a_n = \sqrt{a^2 - a_\tau^2} \approx \sqrt{(0.597)^2 - (-0.508)^2} \approx \sqrt{0.357 - 0.258} = \sqrt{0.099} \approx 0.314 \text{ см/с}^2 

6. Радиус кривизны траектории

 R = \frac{v^2}{a_n} \approx \frac{(1.833)^2}{0.314} \approx \frac{3.36}{0.314} \approx 10.7 \text{ см} 

Ответ:

• Траектория: полуокружность радиуса 4 см, смещённая вниз на 7 см:
  [y = -7 + \sqrt{1 - \frac{x^2}{16}}]
• Положение при t = 1 с:
  [x = 2 \text{ см}, \quad y \approx -6.134 \text{ см}]
• Скорость: [v \approx 1.833 \text{ см/с}]
• Полное ускорение: [a \approx 0.597 \text{ см/с}^2]
• Касательное ускорение: [a_\tau \approx -0.508 \text{ см/с}^2]
• Нормальное ускорение: [a_n \approx 0.314 \text{ см/с}^2]
• Радиус кривизны: [R \approx 10.7 \text{ см}]

Если нужно, могу построить графики траектории и векторов.