Определите момент импульса шара массой m и радиусом R, вращающегося с частотой ν вокруг оси, совпадающейс касательной к шару

Определение предмета:

Это задание относится к физике, раздел механика, подраздел динамика вращательного движения, тема: момент импульса (момент количества движения).

Разберем задачу поэтапно:

Дано:

• Масса шара: \( m \),
• Радиус шара: \( R \),
• Частота вращения: \( \nu \) (в герцах, \( \text{Гц} \)).
• Ось вращения: ось, совпадающая с касательной к шару.

Найти:

Момент импульса \( L \) шара относительно касательной.

Шаг 1: Найдем момент инерции шара относительно касательной

Момент инерции материальной точки относительно оси вращения равен \( I = mr^2 \), но для твердого тела применяются специальные формулы.

Формула для момента инерции шара радиуса \( R \) относительно оси, проходящей через центр, равна:

\[ I_{\text{центр}} = \frac{2}{5} m R^2. \]

Однако ось вращения в нашей задаче проходит через касательную к шару.

Для случая вращения тела вокруг оси, не совпадающей с центром, применяется теорема Штейнера:

\[ I = I_{\text{центр}} + m d^2, \]

где \( d \) — расстояние между новой осью вращения и центром масс. В данном случае \( d = R \), так как ось проходит через касательную. Тогда:

\[ I_{\text{касательная}} = \frac{2}{5} m R^2 + m R^2 = \frac{2}{5} m R^2 + \frac{5}{5} m R^2 = \frac{7}{5} m R^2. \]

Шаг 2: Найдем угловую скорость \( \omega \)

Частота \( \nu \) связана с угловой скоростью \( \omega \) следующим соотношением:

\[ \omega = 2 \pi \nu. \]

Шаг 3: Вычислим момент импульса

Момент импульса \( L \) вращающегося тела выражается как:

\[ L = I \omega. \]

Подставим значения:

1. \( I = \frac{7}{5} m R^2 \),
2. \( \omega = 2 \pi \nu \).

Тогда:

\[ L = \frac{7}{5} m R^2 \cdot 2 \pi \nu = \frac{14}{5} \pi m R^2 \nu. \]

Ответ:

Момент импульса шара относительно касательной равен:

Подробности:

1. Мы использовали стандартное выражение для момента инерции шара и теорему Штейнера.
2. Угловая скорость связана с частотой: \( \omega = 2 \pi \nu \).
3. Подставили всё в конечное выражение и получили ответ.

\[ L = \frac{14}{5} \pi m R^2 \nu. \]