Определить угол, который составляет полное ускорение с вектором скорости в момент, когда скорость равна V

Предмет задания: Физика

Раздел: Динамика поступательного и вращательного движения, кинематика вращательного движения

Дано:

• Радиус окружности \( R \)
• Угловое ускорение \( \varepsilon \)
• Линейная скорость \( V \)

Найти:

Угол \( \theta \), который образует вектор полного ускорения с вектором скорости.

Решение:

1. Понимание понятий:

   При движении по окружности точка испытывает два вида ускорения:

   • Тангенциальное ускорение \( a_\tau \) — связано с изменением модуля скорости и направлено по касательной к траектории.
   • Центростремительное ускорение \( a_r \) — связано со стремлением вернуть тело к центру окружности и направлено по радиусу к центру окружности.

   Полное ускорение \( \vec{a} \) при движении по окружности является векторной суммой этих двух ускорений:

   \[ \vec{a} = \vec{a}_\tau + \vec{a}_r \]

2. Центростремительное ускорение связано с мгновенной скоростью \( V \) и радиусом \( R \):

   \[ a_r = \frac{V^2}{R} \]

   Это ускорение всегда направлено к центру окружности.

3. Тангенциальное ускорение связано с угловым ускорением \( \varepsilon \) и радиусом окружности \( R \):

   \[ a_\tau = \varepsilon R \]

   Это ускорение направлено вдоль касательной в сторону возрастания скорости.

4. Полное ускорение является векторной суммой этих двух ускорений в системе координат, где \( a_r \) и \( a_\tau \) перпендикулярны друг другу. Таким образом, модуль полного ускорения можно вычислить по теореме Пифагора:

   \[ a = \sqrt{a_\tau^2 + a_r^2} \]

5. Определим угол \( \theta \) между вектором полного ускорения и вектором скорости:

   Вектор скорости направлен по касательной к траектории, то есть совпадает с направлением тангенциального ускорения \( a_\tau \). Центростремительное ускорение \( a_r \) перпендикулярно направлению скорости (по радиусу к центру). Поэтому угол \( \theta \) можно найти через тангенс угла между тангенциальным ускорением и полным ускорением:

   \[ \tan(\theta) = \frac{a_r}{a_\tau} = \frac{\frac{V^2}{R}}{\varepsilon R} = \frac{V^2}{R \varepsilon} \]

   Теперь выражаем \( \theta \) через арктангенс:

Ответ:

Угол \( \theta \), который составляет полное ускорение с вектором скорости, равен: