Определить: Скорость частицы в момент времени t = t_1

Предмет: Физика

Раздел: Кинематика

Условие задачи:

Радиус-вектор частицы описывается выражением:
\vec{r}(t) = at\vec{i} + bt^2\vec{j} + ct^3\vec{k},
где a, b, c — постоянные, t — время.
Необходимо определить:

1. Скорость частицы в момент времени t = t_1.
2. Ускорение частицы в момент времени t = t_1.

Решение:

1. Скорость частицы
   Скорость частицы — это первая производная радиус-вектора по времени:
   \vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt}.

Рассчитаем производную:
\vec{r}(t) = at\vec{i} + bt^2\vec{j} + ct^3\vec{k},
\vec{v}(t) = \frac{d}{dt}(at\vec{i}) + \frac{d}{dt}(bt^2\vec{j}) + \frac{d}{dt}(ct^3\vec{k}).

Вычислим каждую компоненту:

• \frac{d}{dt}(at) = a,
• \frac{d}{dt}(bt^2) = 2bt,
• \frac{d}{dt}(ct^3) = 3ct^2.

Таким образом, скорость:
\vec{v}(t) = a\vec{i} + 2bt\vec{j} + 3ct^2\vec{k}.

В момент времени t = t_1:
\vec{v}(t_1) = a\vec{i} + 2bt_1\vec{j} + 3ct_1^2\vec{k}.

2. Ускорение частицы
   Ускорение частицы — это первая производная скорости по времени, или вторая производная радиус-вектора:
   \vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}(t)}{dt} = \frac{d^2\vec{r}(t)}{dt^2}.

Рассчитаем производную:
\vec{v}(t) = a\vec{i} + 2bt\vec{j} + 3ct^2\vec{k},
\vec{a}(t) = \frac{d}{dt}(a\vec{i}) + \frac{d}{dt}(2bt\vec{j}) + \frac{d}{dt}(3ct^2\vec{k}).

Вычислим каждую компоненту:

• \frac{d}{dt}(a) = 0,
• \frac{d}{dt}(2bt) = 2b,
• \frac{d}{dt}(3ct^2) = 6ct.

Таким образом, ускорение:
\vec{a}(t) = 0\vec{i} + 2b\vec{j} + 6ct\vec{k}.

В момент времени t = t_1:
\vec{a}(t_1) = 0\vec{i} + 2b\vec{j} + 6ct_1\vec{k}.

Ответ:

1. Скорость в момент времени t = t_1:
   \vec{v}(t_1) = a\vec{i} + 2bt_1\vec{j} + 3ct_1^2\vec{k}.

2. Ускорение в момент времени t = t_1:
   \vec{a}(t_1) = 0\vec{i} + 2b\vec{j} + 6ct_1\vec{k}.